روش زیرفضای کرایلف (Krylov Subspace Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش زیرفضای کرایلف (Krylov Subspace Methods) :
\[ \mathcal{K}_m(A, v) = \text{span}\{v, Av, A^2v, ..., A^{m-1}v\} \]توضیح ساده: روش های زیرفضای کرایلف یک خانواده بزرگ از روش های تکراری برای حل دستگاه های خطی و مسائل مقدار ویژه هستند. ایده اصلی این است که جواب را در فضایی که توسط بردارهای A^k v تولید می شود جستجو کنیم. این فضا، زیرفضای کرایلف نام دارد. با افزایش m، این فضا بزرگتر می شود و امیدواریم جواب دقیق را شامل شود. روش های مختلفی مانند گرادیان مزدوج، GMRES، BiCG و ... در این خانواده قرار می گیرند.
شرح گام به گام: برای حل Ax=b، یک زیرفضای کرایلف با شروع از بردار باقیمانده r₀ = b - Ax₀ می سازیم: K_m = span{r₀, Ar₀, A²r₀, ..., A^{m-1}r₀}. سپس جواب تقریبی x_m را در فضای x₀ + K_m جستجو می کنیم به طوری که یک شرط بهینه سازی برقرار باشد. در روش گرادیان مزدوج، شرط این است که باقیمانده بر K_m عمود باشد. در GMRES، نرم باقیمانده کمینه می شود. در روش های مختلف، شرایط متفاوتی اعمال می شود.
مثال: برای درک بهتر، روش گرادیان مزدوج را در نظر بگیرید. در این روش، جواب در زیرفضای کرایلف جستجو می شود و جهت های جستجو به گونه ای انتخاب می شوند که یک پایه A-متعامد برای این فضا ایجاد کنند. در حقیقت، روش گرادیان مزدوج یک روش کارآمد برای ساختن و جستجو در زیرفضای کرایلف است.
انواع روش های کرایلف:
- برای ماتریس های متقارن مثبت معین: روش گرادیان مزدوج (CG)
- برای ماتریس های متقارن نامعین: روش حداقل باقیمانده (MINRES) و SYMMLQ
- برای ماتریس های نامتقارن: روش GMRES، BiCG، QMR، CGS، BiCGSTAB
مزایا: مناسب برای ماتریس های بزرگ و تنک، نیاز به ذخیره سازی کم، قابلیت تنظیم برای انواع مختلف ماتریس ها.
کاربردها: در شبیه سازی های بزرگ مقیاس، در دینامیک سیالات محاسباتی، در ژئوفیزیک، در تحلیل سازه ها، در هر جایی که با ماتریس های تنک روبرو هستیم.
نکته: انتخاب پیش شرط کننده مناسب برای این روش ها بسیار مهم است و می تواند سرعت همگرایی را به شدت افزایش دهد.
