روش بهبود تکراری (Iterative Refinement Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش بهبود تکراری (Iterative Refinement Method) :
توضیح ساده: روش بهبود تکراری یک تکنیک برای افزایش دقت جواب بدست آمده از یک روش مستقیم (مثل حذفی گاوس) است. وقتی با اعداد ممیز شناور کار می کنیم، خطای گرد کردن باعث می شود جواب دقیق نباشد. در این روش، باقیمانده را محاسبه کرده، دستگاه را برای تصحیح حل می کنیم، و جواب را تصحیح می کنیم. این کار را تکرار می کنیم تا به دقت مطلوب برسیم.
شرح گام به گام: فرض کنید x̂ یک جواب تقریبی برای Ax=b است. باقیمانده r = b - Ax̂ را محاسبه می کنیم. سپس دستگاه خطی Ad = r را برای یافتن خطای d حل می کنیم. (توجه: A همان ماتریس اصلی است). سپس جواب را تصحیح می کنیم: x̂_new = x̂ + d. این کار را تکرار می کنیم تا ||d|| کوچک شود. برای حل Ad = r می توانیم از همان تجزیه LU که قبلا برای A انجام داده ایم استفاده کنیم، چون A ثابت است. این باعث می شود هر تکرار ارزان باشد.
مثال عددی: دستگاه ساده:
\[ 0.0001x_1 + x_2 = 1 \] \[ x_1 + x_2 = 2 \]جواب دقیق x₁ ≈ 1.0001، x₂ ≈ 0.9999. با حذف گاوس و محاسبات با ۴ رقم اعشار: از معادله اول: x₂ = 1 - 0.0001x₁. در معادله دوم: x₁ + 1 - 0.0001x₁ = 2 ⇒ 0.9999x₁ = 1 ⇒ x₁ = 1.000، x₂ = 1 - 0.0001 = 0.9999. این جواب نسبتا دقیق است. اما اگر دقت کمتری داشتیم، مثلا با ۳ رقم اعشار، خطا بیشتر می شد. باقیمانده r = b - Ax̂ را محاسبه می کنیم: r₁ = 1 - (0.0001*1 + 0.9999) = 1 - 1.0000 = 0، r₂ = 2 - (1+0.9999)=2-1.9999=0.0001. دستگاه Ad = r: 0.0001d₁ + d₂ = 0، d₁ + d₂ = 0.0001. حل: d₁ ≈ 0.0001، d₂ ≈ -0.0001. پس تصحیح: x₁_new = 1.0001، x₂_new = 0.9998. به جواب دقیق نزدیک تر شدیم.
مزایا: دقت جواب را بدون نیاز به حل مجدد دستگاه اصلی افزایش می دهد. برای جبران خطای گرد کردن بسیار مؤثر است.
معایب: برای دستگاه های بدحالت ممکن است کند یا ناپایدار شود.
کاربردها: در نرم افزارهای عددی حرفه ای (مثل LAPACK) برای افزایش دقت نتایج، در مسائل با دقت بالا (High-Precision Computing).
نکته: این روش زمانی بهترین عملکرد را دارد که ماتریس A به خوبی تجزیه شده باشد و باقیمانده با دقت بالا محاسبه شود.
