روش کاهش یافته متقارن (Symmetric Successive Over-Relaxation - SSOR)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش کاهش یافته متقارن (Symmetric Successive Over-Relaxation - SSOR) :
توضیح ساده: روش SSOR یک نسخه متقارن از روش SOR است. در SOR معمولی، ما مجهولات را به ترتیب از اول به آخر به روز می کنیم. در SSOR، ابتدا یک نیم تکرار SOR رو به جلو (از اول به آخر) انجام می دهیم، سپس یک نیم تکرار SOR رو به عقب (از آخر به اول). این کار باعث می شود ماتریس تکرار متقارن شود که برای برخی کاربردها (مثل استفاده به عنوان پیش شرط کننده در روش های گرادیان مزدوج) مفید است.
شرح گام به گام: در نیم تکرار اول (رو به جلو)، مانند SOR معمولی از x₁ تا xₙ را به روز می کنیم. در نیم تکرار دوم (رو به عقب)، از xₙ تا x₁ را به روز می کنیم، با این تفاوت که در این مرحله از مقادیر جدید نیم تکرار اول استفاده می کنیم. نتیجه یک تکرار کامل SSOR است. این روش نسبت به SOR معمولی متقارن است و ماتریس تکرار آن متقارن می باشد.
کاربرد: SSOR به تنهایی کندتر از SOR است، اما به عنوان یک پیش شرط کننده (Preconditioner) در روش های زیرفضای کرایلف مانند روش گرادیان مزدوج بسیار مؤثر است. وقتی ماتریس A متقارن و مثبت معین است، SSOR می تواند یک پیش شرط کننده متقارن و مؤثر ایجاد کند.
مزایا: ایجاد یک ماتریس تکرار متقارن، مفید برای ترکیب با روش های گرادیان مزدوج. پایداری عددی خوب.
معایب: دو برابر SOR معمولی کار محاسباتی نیاز دارد، بنابراین به تنهایی کندتر است.
کاربردها: به عنوان پیش شرط کننده در حل مسائل بزرگ با روش های تکراری پیشرفته، در تحلیل سازه ها با روش عناصر محدود.
نکته: SSOR اغلب در ترکیب با روش های زیرفضای کرایلف (مانند CG، GMRES) استفاده می شود، نه به عنوان یک روش مستقل.
