روش بیش تخفیف های پشت سر هم (Successive Over-Relaxation - SOR)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش بیش تخفیف های پشت سر هم (Successive Over-Relaxation - SOR) :
\[ x_i^{(k+1)} = (1-\omega) x_i^{(k)} + \frac{\omega}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)}\right) \]توضیح ساده: روش SOR یک بهبود یافته از روش گاوس-سایدل است. در این روش، یک ضریب Relaxation به نام ω (امگا) معرفی می کنیم که بین ۰ و ۲ است. این ضریب باعث می شود بتوانیم گام های بزرگ تری به سمت جواب برداریم و سرعت همگرایی را افزایش دهیم. اگر ω=1 باشد، همان گاوس-سایدل است. اگر ω>1 باشد، "بیش تخفیف" (Over-Relaxation) داریم که برای سرعت بخشیدن به همگرایی استفاده می شود.
شرح گام به گام: ابتدا مقدار پیش بینی شده توسط گاوس-سایدل را محاسبه می کنیم. سپس این مقدار را با مقدار قبلی ترکیب می کنیم. فرمول بالا این ترکیب را نشان می دهد: بخش اول، (1-ω) برابر مقدار قبلی است و بخش دوم، ω برابر مقدار جدید گاوس-سایدل. این کار باعث می شود اگر در مسیر درست حرکت می کنیم، گام بزرگ تری برداریم (ω>1) و اگر نوسان داریم، گام را کوچک کنیم (ω<1).
مثال عددی: با همان دستگاه قبل و ω=1.2. ابتدا مقدار گاوس-سایدل را برای x₁ محاسبه می کنیم: x₁^(gs) = 0.6. سپس x₁^(جدید) = (1-1.2)*0 + 1.2*0.6 = (-0.2)*0 + 0.72 = 0.72. برای x₂: مقدار گاوس-سایدل = 2.3273، x₂^(جدید) = (1-1.2)*0 + 1.2*2.3273 = 0 + 2.7928 = 2.7928. همینطور ادامه می دهیم. می بینیم که مقادیر بزرگ تر از گاوس-سایدل هستند و امیدواریم سریع تر به جواب برسیم.
انتخاب ω بهینه: برای ماتریس های خاص (مثلا ماتریس های حاصل از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل)، می توان ω بهینه را محاسبه کرد. معمولا ω بهینه بین ۱ و ۲ است و نزدیک به ۲ برای مسائل بزرگ. انتخاب نادرست ω می تواند باعث واگرایی یا کندی شود.
مزایا: بسیار سریع تر از گاوس-سایدل برای مسائل بزرگ، مخصوصا در حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی.
کاربردها: استانداردترین روش برای حل دستگاه های خطی ناشی از روش تفاضلات محدود در دینامیک سیالات، انتقال حرارت، و مکانیک جامدات.
نکته: روش SOR در دهه ۱۹۵۰ توسط دیوید یانگ توسعه یافت و انقلابی در حل عددی معادلات دیفرانسیل ایجاد کرد.
