روش گاوس-سایدل (Gauss-Seidel Iteration Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-سایدل (Gauss-Seidel Iteration Method) :
\[ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)}\right) \]توضیح ساده: روش گاوس-سایدل یک روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی است که شبیه روش ژاکوبی است، اما با یک تفاوت مهم: در این روش، به محض اینکه یک مقدار جدید برای یک مجهول محاسبه می شود، بلافاصله در همان تکرار از آن استفاده می کنیم. این کار باعث می شود روش سریع تر همگرا شود. مانند این است که به جای اینکه همه مجهولات را با اطلاعات قدیمی به روز کنیم، از جدیدترین اطلاعات موجود استفاده می کنیم.
شرح گام به گام: مانند روش ژاکوبی، هر معادله را بر حسب یک مجهول می نویسیم. با یک حدس اولیه شروع می کنیم. در هر تکرار، مجهولات را به ترتیب (مثلا از x₁ تا xₙ) محاسبه می کنیم. برای محاسبه x₁، از مقادیر قدیمی x₂ تا xₙ استفاده می کنیم. اما برای محاسبه x₂، از x₁ جدید و بقیه مقادیر قدیمی استفاده می کنیم. برای x₃، از x₁ و x₂ جدید و بقیه قدیمی استفاده می کنیم و همینطور تا آخر. این استفاده از مقادیر جدید باعث می شود اطلاعات تازه تر سریع تر در محاسبات منتشر شوند.
مثال عددی: دستگاه مثال قبل را در نظر بگیرید:
\[ 10x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \] \[ -x_1 + 11x_2 - x_3 + 3x_4 = 25 \] \[ 2x_1 - x_2 + 10x_3 - x_4 = -11 \] \[ 3x_2 - x_3 + 8x_4 = 15 \]با حدس اولیه x⁽⁰⁾ = [0,0,0,0]ᵀ تکرار اول: x₁ = (6 - (-1)*0 + 2*0)/10 = 0.6 (مشابه ژاکوبی) x₂ = (25 - (-1)*0.6 + (-1)*0 + 3*0)/11 = (25 + 0.6)/11 = 25.6/11 = 2.3273 (توجه: از x₁ جدید استفاده شد) x₃ = (-11 - 2*0.6 + (-1)*2.3273 + (-1)*0)/10 = (-11 - 1.2 - 2.3273)/10 = (-14.5273)/10 = -1.45273 x₄ = (15 - 3*2.3273 + (-1)*(-1.45273))/8 = (15 - 6.9819 + 1.45273)/8 = (9.47083)/8 = 1.18385 می بینیم که مقادیر با روش ژاکوبی (که x₂=2.2727 بود) متفاوت است و معمولا سریع تر به جواب نزدیک می شود.
مقایسه با ژاکوبی: گاوس-سایدل معمولا دو برابر ژاکوبی سرعت همگرایی دارد. حافظه کمتری نیاز دارد (چون مقادیر جدید جایگزین قدیمی ها می شوند).
شرط همگرایی: مانند ژاکوبی، اگر ماتریس غالب قطری باشد، همگرا است. همچنین اگر ماتریس متقارن و مثبت معین باشد، همگرایی تضمین شده است.
کاربردها: در حل دستگاه های بزرگ و تنک، در شبیه سازی میدان های الکتریکی و مغناطیسی، در تحلیل شبکه های قدرت، در دینامیک سیالات محاسباتی.
نکته: ترتیب مجهولات می تواند روی سرعت همگرایی تأثیر بگذارد. گاهی با تغییر ترتیب معادلات می توان همگرایی را بهبود بخشید.
