روش ژاکوبی (Jacobi Iteration Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ژاکوبی (Jacobi Iteration Method) :
\[ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j \ne i} a_{ij} x_j^{(k)}) \]توضیح ساده: روش ژاکوبی یک روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی است. برخلاف روش های مستقیم (مثل گاوس)، در روش های تکراری با یک حدس اولیه شروع کرده و آنقدر تکرار می کنیم تا به جواب نزدیک شویم. در روش ژاکوبی، در هر تکرار، هر معادله را بر اساس مقادیر قدیمی مجهولات حل می کنیم. مانند این است که به نوبت هر مجهول را با فرض ثابت بودن بقیه بدست آوریم.
شرح گام به گام: فرض کنید دستگاه n معادله n مجهول داریم. معادله iام را بر حسب x_i می نویسیم:
\[ a_{i1}x_1 + ... + a_{ii}x_i + ... + a_{in}x_n = b_i \Rightarrow x_i = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j) \]با یک بردار حدس اولیه x⁽⁰⁾ شروع می کنیم (معمولا صفر یا یک). در هر تکرار k+1، همه مؤلفه های x⁽ᵏ⁺¹⁾ را با استفاده از مؤلفه های x⁽ᵏ⁾ از فرمول بالا محاسبه می کنیم. توجه کنید که در محاسبه x_i از مقادیر قدیمی (همگی از تکرار قبل) استفاده می شود. تکرار را تا رسیدن به همگرایی ادامه می دهیم.
مثال عددی: دستگاه:
\[ 10x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \] \[ -x_1 + 11x_2 - x_3 + 3x_4 = 25 \] \[ 2x_1 - x_2 + 10x_3 - x_4 = -11 \] \[ 3x_2 - x_3 + 8x_4 = 15 \]با حدس اولیه x⁽⁰⁾ = [0,0,0,0]ᵀ تکرار اول: x₁ = (6 - (-1)*0 + 2*0)/10 = 0.6 x₂ = (25 - (-1)*0 + (-1)*0 + 3*0)/11 = 2.2727 x₃ = (-11 - 2*0 + (-1)*0 + (-1)*0)/10 = -1.1 x₄ = (15 - 3*0 + (-1)*0)/8 = 1.875 تکرار دوم با این مقادیر جدید محاسبه می شود. پس از چند تکرار به جواب همگرا می شویم.
شرط همگرایی: اگر ماتریس A غالب قطری (Diagonally Dominant) باشد، یعنی |a_ii| > Σⱼ≠ᵢ |a_ij| برای همه سطرها، آنگاه روش ژاکوبی همگرا است.
مزایا: ساده و قابل فهم، قابل موازی سازی (چون هر x_i مستقل از بقیه در همان تکرار محاسبه می شود).
معایب: کندتر از روش گاوس-سایدل، ممکن است برای برخی ماتریس ها واگرا شود.
کاربردها: در حل دستگاه های بزرگ و تنک (Sparse) که روش های مستقیم پرهزینه هستند، در شبیه سازی های فیزیکی، در تحلیل شبکه های بزرگ.
