روش تجزیه چولسکی (Cholesky Decomposition)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تجزیه چولسکی (Cholesky Decomposition) :
\[ A = LL^T \]برای ماتریس های متقارن مثبت معین
توضیح ساده: روش چولسکی یک حالت خاص از تجزیه LU است که برای ماتریس های متقارن و مثبت معین استفاده می شود. در این روش، ماتریس A به حاصل ضرب یک ماتریس پایین مثلثی L در ترانهاده آن (Lᵀ) تجزیه می شود. این تجزیه بسیار کارآمد و پایدار است. مانند این است که یک ماتریس متقارن را به "ریشه مربع" ماتریسی تجزیه کنیم.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس متقارن مثبت معین A، عناصر L از روابط زیر بدست می آیند: L₁₁ = √A₁₁ برای j>1: Lⱼ₁ = Aⱼ₁ / L₁₁ برای i>1: Lᵢᵢ = √(Aᵢᵢ - Σₖ₌₁ᵢ⁻¹ Lᵢₖ²) برای j>i: Lⱼᵢ = (Aⱼᵢ - Σₖ₌₁ᵢ⁻¹ Lⱼₖ Lᵢₖ) / Lᵢᵢ این روابط از مقایسه A = LLᵐ بدست می آیند.
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 10 & 2 \\ -2 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]متقارن و مثبت معین است. تجزیه چولسکی: L₁₁ = √4 = 2 L₂₁ = 2/2 = 1 L₃₁ = -2/2 = -1 L₂₂ = √(10 - 1²) = √9 = 3 L₃₂ = (2 - (-1)*1)/3 = (2+1)/3 = 1 L₃₃ = √(5 - (-1)² - 1²) = √(5-1-1) = √3 ≈ 1.732 بنابراین:
\[ L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1.732 \end{bmatrix} \]مزایا: بسیار سریع و پایدار، حدود نصف محاسبات روش LU معمولی. تضمین مثبت بودن عناصر قطری.
معایب: فقط برای ماتریس های متقارن مثبت معین کاربرد دارد.
کاربردها: در روش حداقل مربعات، در آمار و احتمالات (تجزیه ماتریس کوواریانس)، در بهینه سازی، در حل دستگاه های ناشی از روش عناصر محدود.
