روش تجزیه دولیتل (Doolittle's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تجزیه دولیتل (Doolittle's Method) :
\[ A = LU \]با قطر ۱ برای L
توضیح ساده: روش دولیتل رایج ترین روش تجزیه LU است. در این روش، ماتریس پایین مثلثی L دارای عناصر قطری ۱ است و ماتریس بالامثلثی U دلخواه است. این انتخاب باعث سادگی در محاسبات می شود و در اکثر کتاب های درسی از این روش استفاده می شود.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس ۳×۳: ابتدا سطر اول U: U₁₁ = A₁₁، U₁₂ = A₁₂، U₁₃ = A₁₃. سپس ستون اول L: L₂₁ = A₂₁/U₁₁، L₃₁ = A₃₁/U₁₁. سپس سطر دوم U: U₂₂ = A₂₂ - L₂₁U₁₂، U₂₃ = A₂₃ - L₂₁U₁₃. سپس ستون دوم L: L₃₂ = (A₃₂ - L₃₁U₁₂)/U₂₂. سپس سطر سوم U: U₃₃ = A₃₃ - L₃₁U₁₃ - L₃₂U₂₃. در پایان، L یک ماتریس پایین مثلثی با قطر ۱ و U یک ماتریس بالامثلثی است.
مثال: برای ماتریس A مثال قبل، تجزیه دولیتل:
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \]صحت تجزیه: LU = A.
مزایا: ساده ترین روش تجزیه LU، قابل فهم و برنامه نویسی آسان.
معایب: اگر عناصر قطری U صفر شوند، مشکل پیش می آید (نیاز به محورگیری).
کاربردها: استانداردترین روش برای حل دستگاه های خطی در نرم افزارهای عددی.
نکته: روش دولیتل معادل روش حذفی گاوس است. در واقع، U همان ماتریس حاصل از حذف رو به جلو است.
