روش تجزیه کراوت (Crout's Decomposition / Crout's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تجزیه کراوت (Crout's Decomposition / Crout's Method) :
\[ A = LU \]با قطرهای متفاوت
توضیح ساده: روش کراوت یکی از روش های تجزیه LU است. در این روش، ماتریس پایین مثلثی L دارای عناصر قطری غیرصفر (معمولا نه لزوما ۱) است و ماتریس بالامثلثی U دارای قطر ۱ها است. این برعکس روش دولیتل است که در آن L دارای قطر ۱ و U دلخواه است. هر دو روش معادل هستند و انتخاب بین آنها به سلیقه و کاربرد بستگی دارد.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس ۳×۳ مانند A، مراحل به این صورت است: ابتدا ستون اول L: L₁₁ = A₁₁، L₂₁ = A₂₁، L₃₁ = A₃₁. سپس سطر اول U: U₁₂ = A₁₂/L₁₁، U₁₃ = A₁₃/L₁₁. سپس ستون دوم L: L₂₂ = A₂₂ - L₂₁U₁₂، L₃₂ = A₃₂ - L₃₁U₁₂. سپس سطر دوم U: U₂₃ = (A₂₃ - L₂₁U₁₃)/L₂₂. سپس ستون سوم L: L₃₃ = A₃₃ - L₃₁U₁₃ - L₃₂U₂₃. در پایان، ماتریس های L و U بدست می آیند.
مثال: برای ماتریس قبلی، تجزیه کراوت به این شکل است:
\[ L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 0 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 & -1.333 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]توجه کنید که در اینجا L عناصر قطری غیرصفر دارد و U قطر ۱ دارد.
مقایسه با دولیتل: در دولیتل، L قطر ۱ دارد و U دلخواه. در کراوت، U قطر ۱ دارد و L دلخواه. از نظر محاسباتی تفاوت چندانی ندارند.
کاربردها: مشابه سایر روش های تجزیه LU، در حل دستگاه های خطی و محاسبات ماتریسی استفاده می شود.
نکته: روش کراوت از نظر تاریخی قدیمی تر است و برای محاسبات دستی مناسب تر است.
