روش تجزیه LU (انگلیسی : LU Decomposition)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تجزیه LU (انگلیسی : LU Decomposition) :
\[ A = LU \]توضیح ساده: روش تجزیه LU بر این ایده استوار است که هر ماتریس مربعی را می توان به حاصل ضرب دو ماتریس مثلثی تجزیه کرد: یک ماتریس پایین مثلثی (L) و یک ماتریس بالامثلثی (U). مزیت این کار این است که حل دستگاه با ماتریس های مثلثی بسیار آسان است. مانند این است که یک مسئله پیچیده را به دو مسئله ساده تبدیل کنیم.
شرح گام به گام: هدف حل دستگاه Ax = b است. اگر A = LU، آنگاه (LU)x = b ⇒ L(Ux) = b. ابتدا y = Ux را تعریف می کنیم. پس داریم Ly = b. از آنجا که L پایین مثلثی است، با پیش روی (Forward Substitution) به راحتی y را پیدا می کنیم. سپس با داشتن y، دستگاه Ux = y را با پس روی (Back Substitution) حل کرده و x را می یابیم. روش های مختلفی برای تجزیه LU وجود دارد: کراوت، دولیتل، و چولسکی (برای ماتریس های متقارن مثبت معین).
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]با روش دولیتل، تجزیه LU به صورت زیر است:
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \]حال برای حل دستگاه با b = [1,3,7]ᵀ: Ly = b: y₁=1، y₂=3-2*1=1، y₃=7-(-1)*1-(-1)*1=7+1+1=9. Ux = y: x₃=9/6=1.5، x₂=(1-4*1.5)/(-3)=1.667، x₁=(1-1*1.667+1.5)/2=0.4165.
مزایا: اگر چند دستگاه با A یکسان و bهای مختلف داشته باشیم، فقط یک بار تجزیه انجام می دهیم و برای هر b سریع حل می کنیم. کارایی بالایی دارد.
معایب: برای همه ماتریس ها امکان پذیر نیست (نیاز به محورگیری دارد).
کاربردها: در حل مسائل مهندسی با چندین بار سمت راست متفاوت، در تحلیل سازه ها، در شبیه سازی های عددی.
