روش حذفی گاوس-جردن (Gauss-Jordan Elimination)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حذفی گاوس-جردن (Gauss-Jordan Elimination) :
تبدیل ماتریس افزوده به شکل کاهش یافته سطری
توضیح ساده: روش گاوس-جردن ادامه روش گاوس است. در این روش، ماتریس را به شکلی تبدیل می کنیم که روی قطر اصلی همه اعداد ۱ باشند و بقیه جاها صفر. یعنی به جای ماتریس بالامثلثی، یک ماتریس واحد بدست می آوریم. جواب مستقیما از سمت راست ماتریس خوانده می شود و نیازی به پس روی نیست.
شرح گام به گام: مانند روش گاوس، ماتریس افزوده را می سازیم. ابتدا همان مراحل گاوس را انجام می دهیم تا ماتریس بالامثلثی شود. سپس از سطر آخر به بالا، با عملیات سطری مناسب، ضرایب بالای قطر اصلی را هم صفر می کنیم. در نهایت، هر سطر را بر عنصر قطری آن تقسیم می کنیم تا اعداد قطری ۱ شوند. در این حالت، ماتریس سمت چپ به ماتریس واحد تبدیل می شود و سمت راست همان جواب دستگاه است.
مثال عددی: با همان دستگاه مثال قبل، پس از حذف رو به جلو به ماتریس زیر می رسیم:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -3 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & 6 & | & 9 \end{bmatrix} \]حال از پایین به بالا: R₂ → R₂ + (-4/6)R₃: [0, -3, 0, |, 1 - (4*9/6)=1-6=-5] R₁ → R₁ + (1/6)R₃ و R₁ → R₁ + (1/3)R₂ (با تنظیم): پس از عملیات:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & | & 0.833 \\ 0 & -3 & 0 & | & -5 \\ 0 & 0 & 6 & | & 9 \end{bmatrix} \]سپس تقسیم بر عناصر قطری: R₁/2: [1,0,0,|,0.4165]، R₂/(-3): [0,1,0,|,1.667]، R₃/6: [0,0,1,|,1.5]. جواب مستقیما خوانده می شود: x₁=0.4165، x₂=1.667، x₃=1.5.
مزایا: جواب مستقیما بدست می آید، برای محاسبه ماتریس معکوس مفید است.
معایب: تعداد عملیات بیشتر از روش گاوس (حدود ۵۰٪ بیشتر)، بنابراین کندتر است.
کاربردها: محاسبه ماتریس معکوس، حل دستگاه های کوچک، آموزش مفاهیم جبر خطی.
نکته: برای محاسبه ماتریس معکوس A⁻¹، ماتریس [A|I] را با گاوس-جردن به [I|A⁻¹] تبدیل می کنیم.
