روش حذفی گاوس (Gaussian Elimination)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حذفی گاوس (Gaussian Elimination) :
تبدیل ماتریس افزوده به شکل پلکانی سطری
توضیح ساده: روش حذفی گاوس یک روش سیستماتیک برای حل دستگاه معادلات خطی است. ایده این است که با انجام عملیات هایی روی معادلات (مانند ضرب در عدد و جمع با معادلات دیگر)، دستگاه را به شکلی تبدیل کنیم که حل آن آسان باشد. مانند این است که معادلات را ساده کنیم تا به صورت پلکانی درآیند و بتوانیم از پایین به بالا جواب ها را پیدا کنیم.
شرح گام به گام: یک دستگاه n معادله n مجهول داریم. ابتدا ماتریس افزوده [A|b] را می سازیم. در مرحله اول، سطر اول را ثابت نگه می داریم و با استفاده از آن، ضریب x₁ را در سطرهای ۲ تا n صفر می کنیم. برای این کار، از عملیات سطری مثل
\[ R_j = R_j - (a_{j1}/a_{11}) R_1 \]استفاده می کنیم. سپس سراغ ستون دوم می رویم و با استفاده از سطر دوم، ضریب x₂ را در سطرهای ۳ تا n صفر می کنیم. این کار را ادامه می دهیم تا به یک ماتریس بالامثلثی برسیم. حالا با پس روی (Back Substitution) از سطر آخر شروع کرده و x_n را پیدا می کنیم، سپس x_{n-1} و ... تا همه مجهولات بدست آیند.
مثال عددی: دستگاه زیر را در نظر بگیرید:
\[ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1 \] \[ 4x_1 - x_2 + 2x_3 = 3 \] \[ -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 7 \]ماتریس افزوده:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 4 & -1 & 2 & | & 3 \\ -2 & 2 & 3 & | & 7 \end{bmatrix} \]R₂ → R₂ - 2R₁: [0, -3, 4, |, 1] R₃ → R₃ + R₁: [0, 3, 2, |, 8] سپس R₃ → R₃ + R₂: [0, 0, 6, |, 9] پس از پس روی: x₃ = 9/6 = 1.5، x₂ = (1 - 4*1.5)/(-3) = (1-6)/(-3)=1.667، x₁ = (1 - 1*1.667 + 1.5)/2 = (0.833)/2 = 0.4165.
مزایا: روشی مستقیم و دقیق (در صورت نبود خطای گرد کردن)، قابل برنامه نویسی آسان.
معایب: اگر ضریب اصلی (قطری) صفر باشد مشکل پیش می آید (نیاز به جابجایی سطرها). حساس به خطای گرد کردن برای دستگاه های بدحالت.
کاربردها: حل دستگاه های معادلات خطی در مهندسی، تحلیل سازه ها، مدارهای الکتریکی، و هر جایی که با مسائل خطی روبرو هستیم.
نکته مهم: برای بهبود دقت و پایداری عددی، از استراتژی های محورگیری (Pivoting) استفاده می شود.
