روش بیرج-ویتا (Birge-Vieta Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش بیرج-ویتا (Birge-Vieta Method) :
توضیح ساده: روش بیرج-ویتا یک روش تکراری برای پیدا کردن ریشه های حقیقی چندجمله ای ها است. این روش ترکیبی از روش نیوتن و الگوریتم تقسیم مصنوعی (روش هورنر) است. برای محاسبه مقدار چندجمله ای و مشتق آن در یک نقطه از روش هورنر استفاده می کند که بسیار کارآمد است.
شرح گام به گام: فرض کنید چندجمله ای
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 \]را داریم. می خواهیم ریشه ای مانند r پیدا کنیم. با یک حدس اولیه x₀ شروع می کنیم. در هر مرحله، با استفاده از روش هورنر (تقسیم مصنوعی)، مقدار P(xₖ) و P'(xₖ) را محاسبه می کنیم. سپس با فرمول نیوتن، xₖ₊₁ = xₖ - P(xₖ)/P'(xₖ) را بدست می آوریم. پس از پیدا کردن یک ریشه، آن را از چندجمله ای جدا می کنیم (کاهش درجه) و برای یافتن ریشه بعدی روی چندجمله ای جدید کار می کنیم.
مثال عددی: برای چندجمله ای
\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]، با حدس x₀=4 شروع می کنیم. با روش هورنر: ضرایب [1, -6, 11, -6]. برای x=4: b₂ = 1، b₁ = 4-6=-2، b₀ = 4*(-2)+11=3، باقیمانده = 4*3-6=6. پس P(4)=6. برای مشتق: c₁ = 1، c₀ = 4+(-2)=2، P'(4)=4*2+3=11. سپس x₁ = 4 - 6/11 ≈ 3.455. تکرار می کنیم تا به ریشه 3 برسیم.
مزایا: محاسبات کارآمد با روش هورنر، همگرایی سریع (درجه دوم) در نزدیکی ریشه.
معایب: مانند روش نیوتن، ممکن است واگرا شود. برای ریشه های مختلط باید با اعداد مختلط کار کرد.
کاربردها: در تحلیل سیستم های کنترل، در مهندسی مکانیک برای تحلیل ارتعاشات، در شیمی برای محاسبات تعادل.
نکته مهم: روش هورنر (تقسیم مصنوعی) یک الگوریتم کارآمد برای ارزیابی چندجمله ای ها و مشتق هایشان است. این روش تعداد عملیات ضرب را به حداقل می رساند.
