روش لین (Lin's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش لین (Lin's Method) :
توضیح ساده: روش لین یکی از روش های قدیمی برای پیدا کردن ریشه های چندجمله ای ها است. این روش مشابه روش بیرج-ویتا عمل می کند اما تفاوت هایی در نحوه محاسبات دارد. روش لین به ویژه برای پیدا کردن ریشه های مختلط چندجمله ای ها مفید است. ایده اصلی این است که با تقسیم چندجمله ای بر یک عامل درجه دوم، باقیمانده را به صفر برسانیم.
شرح گام به گام: در روش لین، ما یک چندجمله ای درجه n مانند P(x) داریم. می خواهیم یک عامل درجه دوم مانند x² - rx - s پیدا کنیم به طوری که P(x) بر آن بخش پذیر باشد. برای این کار، با یک حدس اولیه برای r و s شروع می کنیم. سپس P(x) را بر x² - rx - s تقسیم می کنیم. باقیمانده تقسیم یک عبارت خطی مانند R x + S خواهد بود. هدف ما این است که R و S را صفر کنیم. با استفاده از روابطی که از مشتقات جزئی بدست می آید، r و s را تصحیح می کنیم. این کار را تکرار می کنیم تا |R| و |S| به اندازه کافی کوچک شوند. سپس عامل x² - rx - s دو ریشه (حقیقی یا مختلط) به ما می دهد و چندجمله ای به درجه n-2 کاهش می یابد.
مثال عددی: فرض کنید چندجمله ای
\[ P(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 2 \]را داریم. می خواهیم یک عامل درجه دوم پیدا کنیم. با حدس اولیه r=1, s=1 شروع می کنیم. پس از چند تکرار، به r=2, s=2 می رسیم. عامل x² - 2x - 2 ریشه های 1±i می دهد. تقسیم P(x) بر این عامل، چندجمله ای درجه دوم باقی می ماند که ریشه های آن 1 و 2 هستند.
مزایا: می تواند ریشه های مختلط را بدون استفاده از اعداد مختلط پیدا کند. برای چندجمله ای های با درجه بالا مناسب است.
معایب: ممکن است همگرایی کند باشد. برای ریشه های چندگانه مشکل پیدا می کند.
کاربردها: در تحلیل مدارهای الکتریکی، در دینامیک سازه ها، در پردازش سیگنال های دیجیتال.
نکته ریاضی: روش لین بر اساس بسط تیلور و خطی سازی روابط غیرخطی برای یافتن r و s کار می کند. این روش در دسته روش های عامل سازی چندجمله ای قرار می گیرد.
