روش تکرار نقطه ای (Fixed Point Iteration Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تکرار نقطه ای (Fixed Point Iteration Method) :
\[ x_{n+1} = g(x_n) \]، به شرطی که
\[ x = g(x) \]توضیح ساده: این روش معادله f(x)=0 را به شکل x = g(x) تبدیل می کند. سپس با یک حدس شروع کرده و مرتبا تابع g را روی نتیجه اعمال می کنیم. اگر به نقطه ای برسیم که با اعمال g تغییری نکند، آن نقطه ریشه است. مانند این است که روی یک تابع کلیک می کنیم تا به یک نقطه ثابت برسیم.
شرح گام به گام: ابتدا معادله را به فرم x = g(x) می نویسیم (مثلا x^2-2=0 را می توان به x = √(2) یا x = 2/x نوشت). یک حدس اولیه x0 انتخاب می کنیم. سپس x1 = g(x0)، x2 = g(x1)، و الی آخر. اگر دنباله همگرا شود، به نقطه ثابت می رسد که همان ریشه است.
مثال عددی: معادله
\[ x^3 + x - 1 = 0 \]را به فرم
\[ x = 1/(x^2+1) \]تبدیل می کنیم. با x0=0.5: x1 = 1/(0.25+1) = 0.8، x2 = 1/(0.64+1) = 0.6098، x3 = 1/(0.3719+1) = 0.729، ... تا به جواب ≈0.6823 برسیم.
شرط همگرایی: اگر در همسایگی ریشه، |g'(x)| < 1 باشد، روش همگرا است.
کاربردها: در حل عددی معادلات دیفرانسیل، در نظریه کنترل، در اقتصاد.
مزایا: ساده و قابل فهم. معایب: ممکن است واگرا شود، انتخاب g مناسب مهم است.
