روش نیوتن-رافسون (Newton-Raphson Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیوتن-رافسون (Newton-Raphson Method) :
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]توضیح ساده: این روش از مشتق تابع استفاده می کند تا سریع تر به ریشه برسد. تصور کنید در یک نقطه از تابع هستیم. خط مماس بر تابع را رسم می کنیم. محل برخورد این خط با محور x، حدس بعدی ماست. این کار را تکرار می کنیم تا به ریشه برسیم. مانند این است که در یک مسیر سربالایی، به جای قدم زدن تصادفی، در جهت شیب حرکت کنیم.
شرح گام به گام: با یک حدس اولیه x0 شروع می کنیم. در هر مرحله، مقدار تابع و مشتق آن را در xn محاسبه می کنیم. سپس xn+1 را از فرمول بالا بدست می آوریم. اگر اختلاف دو مرحله از دقت مورد نظر کمتر شد، متوقف می شویم.
مثال عددی: معادله
\[ f(x) = x^2 - 2 \]را با حدس اولیه x0=1 حل کنید. f'(x)=2x. x1 = 1 - (-1)/(2) = 1.5. x2 = 1.5 - (0.25)/(3) = 1.41667. x3 = 1.41667 - (0.00694)/(2.83334) ≈ 1.41422. که همان
\[ \sqrt{2} \approx 1.41421 \]است. فقط در ۳ مرحله به جواب نزدیک شدیم!
مزایا: بسیار سریع است (همگرایی درجه دوم). معایب: نیاز به مشتق دارد، ممکن است واگرا شود اگر حدس اولیه دور باشد، و اگر مشتق صفر شود مشکل پیدا می کند.
کاربردها: در مهندسی مکانیک برای تحلیل سازه ها، در اقتصاد برای بهینه سازی توابع، در یادگیری ماشین برای بهینه سازی مدل ها.
نکته مهم: اگر مشتق تابع در نزدیکی ریشه صفر باشد (ریشه چندگانه)، سرعت همگرایی کاهش می یابد.
