روش موقعیت یابی کاذب (False Position Method / Regula Falsi)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش موقعیت یابی کاذب (False Position Method / Regula Falsi) :
\[ x_r = b - f(b) \frac{b - a}{f(b) - f(a)} \]توضیح ساده: این روش شبیه نیم سازی است، اما به جای گرفتن نقطه وسط، از یک خط راست بین دو نقطه (a,f(a)) و (b,f(b)) استفاده می کند. جایی که این خط محور x را قطع کند، حدس بعدی ماست. این کار معمولا سرعت همگرایی را افزایش می دهد. مانند این است که به جای حدس زدن عدد وسط، از روی شیب تابع حدس بزنیم.
شرح گام به گام: مانند روش نیم سازی، دو نقطه a و b با علامت های مخالف پیدا می کنیم. سپس نقطه x_r را از فرمول بالا محاسبه می کنیم. این نقطه محل تقاطع خط واصل (a,f(a)) و (b,f(b)) با محور x است. سپس مقدار تابع را در x_r حساب می کنیم. اگر f(x_r) صفر بود، ریشه پیدا شده است. در غیر این صورت، بسته به علامت f(x_r)، یکی از نقاط a یا b را با x_r جایگزین می کنیم به طوری که علامت ها همچنان مخالف بمانند.
مثال عددی: معادله
\[ f(x) = x^3 - 2x - 5 \]را در بازه [2,3] حل کنید. f(2) = -1 (منفی)، f(3) = 16 (مثبت). با فرمول: x_r = 3 - 16*(3-2)/(16-(-1)) = 3 - 16/17 ≈ 2.0588. f(2.0588) ≈ -0.39 (منفی). پس بازه جدید [2.0588, 3] می شود. تکرار می کنیم تا به جواب برسیم.
مقایسه با نیم سازی: معمولا سریع تر از نیم سازی است، اما گاهی ممکن است یک سمت بازه ثابت بماند و کند شود.
کاربردها: در مسائل مهندسی شیمی برای محاسبات تعادل فازی، در فیزیک برای حل معادلات حالت.
نکته: این روش همیشه همگرا است، اما نرخ همگرایی آن خطی است (یعنی کندتر از روش نیوتن).
