روش نیم سازی (Bisection Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیم سازی (Bisection Method) :
اگر
\[ f(a) \cdot f(b) < 0 \]، آنگاه ریشه در بازه
\[ (a, b) \]قرار دارد.
\[ c = \frac{a + b}{2} \]توضیح ساده: روش نیم سازی مانند یک بازی حدس عدد است. فرض کنید عددی بین ۱ تا ۱۰۰ در نظر گرفته اید و من می خواهم آن را پیدا کنم. هر بار یک عدد می گویم و شما می گویید بزرگتر یا کوچکتر است. من همیشه عدد وسط را می گویم تا به عدد مورد نظر نزدیک شوم. در ریاضیات، این روش برای پیدا کردن ریشه معادلات (جایی که تابع صفر می شود) استفاده می شود.
شرح گام به گام: ابتدا دو نقطه a و b را پیدا می کنیم که علامت تابع در آنها متفاوت باشد (یکی مثبت، یکی منفی). این یعنی تابع بین این دو نقطه از صفر عبور کرده است. سپس نقطه وسط را پیدا کرده و مقدار تابع را در آن محاسبه می کنیم. اگر تابع در نقطه وسط صفر شد، کار تمام است. در غیر این صورت، بسته به علامت تابع در نقطه وسط، بازه را نصف می کنیم. این کار را آنقدر تکرار می کنیم تا به اندازه کافی به ریشه نزدیک شویم.
مثال عددی: معادله
\[ f(x) = x^2 - 4 \]را در نظر بگیرید. ریشه ها ۲- و ۲ هستند. بازه [1, 3] را انتخاب می کنیم. f(1) = -3 (منفی) و f(3) = 5 (مثبت). نقطه وسط 2 است: f(2) = 0. بنابراین ریشه پیدا شد. اگر دقیقا صفر نمی شد، بازه را نصف می کردیم تا به جواب برسیم.
مزایا: همیشه جواب می دهد (همگرایی تضمین شده)، ساده و قابل فهم است. معایب: کند است و به تعداد تکرار زیادی نیاز دارد. دقت آن به تعداد تکرار بستگی دارد.
کاربردها: پیدا کردن ریشه معادلات غیرخطی، در مهندسی برق برای تحلیل مدارها، در اقتصاد برای یافتن نرخ بازده داخلی.
نکته ریاضی: خطای روش نیم سازی در هر مرحله نصف می شود. اگر بازه اولیه
\[ [a,b] \]باشد، بعد از n تکرار، خطا حداکثر
\[ \frac{b-a}{2^n} \]است.
شبه کد: ورودی: تابع f، بازه [a,b]، دقت ε. خروجی: ریشه تقریبی. while (b-a)/2 > ε: c = (a+b)/2; اگر f(c)=0: برگردان c; اگر f(a)*f(c) < 0: b = c; در غیر اینصورت: a = c; پایان while; برگردان c.
