نگاشت جزئی (Partial Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت جزئی (Partial Map) :
در ریاضیات، مفهوم نگاشت جزئی (Partial Map) یا تابع جزئی (Partial Function) تعمیمی از مفهوم تابع است. در حالی که یک تابع (یا نگاشت کامل) به هر عنصر از دامنه خود یک مقدار نسبت می دهد، یک نگاشت جزئی این کار را برای بعضی از عناصر دامنه انجام می دهد و برای بقیه عناصر تعریف نشده است.
در ادامه به تعریف دقیق، نمایش، و مثال هایی از این مفهوم می پردازیم.
۱. تعریف (Definition)
فرض کنید
\[ X \]و
\[ Y \]دو مجموعه دلخواه باشند. یک نگاشت جزئی
\[ f \]از
\[ X \]به
\[ Y \]، که با نماد
\[ f: X \rightharpoonup Y \]نشان داده می شود، عبارت است از یک رابطه که هر عنصر
\[ x \in X \]را حداکثر به یک عنصر
\[ y \in Y \]مرتبط می کند.
\[ f: X \rightharpoonup Y \]به عبارت دقیق تر، یک نگاشت جزئی از
\[ X \]به
\[ Y \]، یک تابع است که روی یک زیرمجموعه از
\[ X \]تعریف شده است. این زیرمجموعه را دامنه تعریف (Domain of Definition) می نامیم و آن را با
\[ \mathrm{def}(f) \]نشان می دهیم. رابطه زیر برای یک نگاشت جزئی برقرار است:
\[ \mathrm{def}(f) \subseteq X \] \[ f: \mathrm{def}(f) \rightarrow Y \]یعنی
\[ f \]روی همه اعضای
\[ \mathrm{def}(f) \]یک تابع کامل (و معمولی) است و به ازای
\[ x \in X \setminus \mathrm{def}(f) \]، عبارت
\[ f(x) \]تعریف نشده است.
۲. تفاوت با تابع کامل (Difference from Total Function)
تابع کامل (Total Function): برای هر
\[ x \in X \]، یک
\[ y \in Y \]منحصربه فرد وجود دارد به طوری که
\[ f(x) = y \].
نگاشت جزئی (Partial Function): برای هر
\[ x \in X \]، یا یک
\[ y \in Y \]منحصربه فرد وجود دارد (اگر
\[ x \]در دامنه تعریف باشد) یا
\[ f(x) \]تعریف نشده است (اگر
\[ x \]خارج از دامنه تعریف باشد).
۳. نمادگذاری (Notation)
برای نشان دادن نگاشت جزئی، معمولا از یک پیکان خاص استفاده می شود:
\[ f: X \to Y \]
: تابع کامل
\[ f: X \rightharpoonup Y \]
: نگاشت جزئی
گاهی نیز از نماد
\[ f: X \rightsquigarrow Y \]یا
\[ f: X \hookrightarrow Y \](با مفهوم متفاوت) استفاده می شود، اما رایج ترین نماد
\[ \rightharpoonup \]است.
۴. مثال ها (Examples)
مثال ۱: تابع معکوس در اعداد حقیقی
تابع
\[ f(x) = \frac{1}{x} \]را در نظر بگیرید. اگر دامنه را مجموعه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]در نظر بگیریم، این تابع در
\[ x = 0 \]تعریف نشده است. بنابراین
\[ f: \mathbb{R} \rightharpoonup \mathbb{R} \]یک نگاشت جزئی است، زیرا دامنه تعریف آن
\[ \mathbb{R} \setminus \{0\} \]می باشد.
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \quad \mathrm{def}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]مثال ۲: تابع جذر (ریشه دوم)
تابع
\[ g(x) = \sqrt{x} \]را روی مجموعه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]در نظر بگیرید. در ریاضیات مقدماتی، ریشه دوم اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است. بنابراین
\[ g \]یک نگاشت جزئی از
\[ \mathbb{R} \]به
\[ \mathbb{R} \]است که دامنه تعریف آن
\[ [0, +\infty) \]است.
\[ g(x) = \sqrt{x}, \quad \mathrm{def}(g) = [0, +\infty) \]مثال ۳: تابعی که یک برنامه کامپیوتری محاسبه می کند
در علوم کامپیوتر، هر برنامه ممکن است برای بعضی ورودی ها (مثلا به دلیل حلقه بینهایت) هیچ خروجی ای تولید نکند. بنابراین می توان یک برنامه را به عنوان یک نگاشت جزئی از مجموعه ورودی ها به مجموعه خروجی ها در نظر گرفت.
۵. مفاهیم مرتبط (Related Concepts)
دامنه تعریف (Domain of Definition): مجموعه ای از عناصر
\[ x \in X \]که
\[ f(x) \]برای آن ها تعریف شده است.
هم دامنه (Codomain): مجموعه ای که مقادیر تابع از آن انتخاب می شوند (
\[ Y \]).
تصویر (Image): مجموعه ای از مقادیری که تابع واقعا به آن ها نگاشته می شود:
\[ \{ f(x) \mid x \in \mathrm{def}(f) \} \].
