نگاشت کلی (Total Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت کلی (Total Map) :
در ریاضیات، اصطلاح "نگاشت کلی" (Total Map) یا "تابع کلی" (Total Function) یک مفهوم بسیار بنیادی است. در واقع، وقتی در ریاضیات می گوییم "تابع" یا "نگاشت"، معمولا همان "تابع کلی" منظورمان است.
برای درک این مفهوم، بهتر است آن را در مقابل "تابع جزئی" (Partial Function) تعریف کنیم.
تعریف ساده
یک نگاشت کلی (یا تابع کلی) از مجموعه
\[ A \]به مجموعه
\[ B \]، قانونی است که به هر عضو مجموعه
\[ A \](دامنه)، دقیقا یک عضو از مجموعه
\[ B \](هم دامنه) را نسبت می دهد.
تفاوت با تابع جزئی (Partial Function)
تابع کلی (Total Function): برای همه عناصر دامنه اش تعریف شده است. هیچ عنصری در دامنه نیست که تابع برای آن مقدار نداشته باشد.
مثال: تابع
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]که به صورت
\[ f(x) = x^2 \]تعریف شده است. برای هر عدد حقیقی
\[ x \]، مقدار
\[ x^2 \]یک عدد حقیقی مشخص است. پس این یک تابع کلی است.
تابع جزئی (Partial Function): ممکن است برای برخی از عناصر دامنهاش تعریف نشده باشد . به عبارت دیگر، فقط برای یک زیرمجموعه از دامنه (به آن زیرمجموعه دامنه تعریف می گویند) مقدار خروجی دارد.
مثال: تابع
\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]که به صورت
\[ g(x) = 1/x \]تعریف شده است. این تابع برای
\[ x=0 \]تعریف نشده است، زیرا تقسیم بر صفر معنی ندارد. بنابراین، اگر آن را به عنوان تابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی در نظر بگیریم، یک تابع جزئی است، زیرا برای عضو
\[ 0 \]در دامنه، مقداری تعریف نکرده است. (برای تبدیل آن به یک تابع کلی، باید دامنه را به
\[ \mathbb{R} \setminus \{0\} \]محدود کنیم).
