نگاشت یکانی (Unique Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یکانی (Unique Map) :

در نظریه ی رسته ها، یک نگاشت یکانی (unique map) معمولا به نگاشت ای گفته می شود که با یک خاصیت جهانی (universal property) به طور یکتا تعیین می شود. برای مثال، در یک رسته، اگر یک شیء پایانی (terminal object)

\[ T \]

وجود داشته باشد، برای هر شیء

\[ X \]

یک نگاشت یکتا

\[ X\to T \]

وجود دارد. این نگاشت را نگاشت یکانی می نامند.

به طور مشابه، برای یک شیء آغازین (initial object)

\[ I \]

، یک نگاشت یکتا

\[ I\to X \]

برای هر

\[ X \]

وجود دارد. در نظریه ی مجموعه ها، مجموعه ی تهی

\[ \emptyset \]

شیء آغازین است و مجموعه ی تک عضوی

\[ \{*\} \]

شیء پایانی است. نگاشت یکتا از

\[ \emptyset \]

به هر مجموعه، تابع تهی (empty function) است.

در جبر، گروه بدیهی (trivial group) هم شیء آغازین و هم شیء پایانی در رسته ی گروه هاست. نگاشت یکتا از گروه بدیهی به هر گروه، همان درون ریختی است که عنصر همانی را به همانی می برد.

این مفهوم برای تعریف حاصلضرب ها، هم حاصلضرب ها، و دیگر ساختارهای جهانی اساسی است.

\[ \exists! f: X \to T \quad,\quad T \text{ شیء پایانی} \]

✏️ مثال: در رسته ی مجموعه ها، نگاشت یکتا

\[ \emptyset\to X \]

(تابع تهی) و نگاشت یکتا

\[ X\to \{*\} \]

که همه را به

\[ * \]

می برد. در رسته ی گروه ها، نگاشت یکتا

\[ \{e\}\to G \]

که

\[ e \]

را به

\[ e_G \]

می برد.