نگاشت مشتق (Derived Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مشتق (Derived Map) :

اصطلاح «نگاشت مشتق» (derived map) ممکن است در زمینه های مختلف به کار رود. در آنالیز، می تواند به معنای نگاشت مشتق (derivative map) باشد، یعنی نگاشتی که به هر نقطه، مشتق تابع در آن نقطه را نسبت می دهد. برای یک تابع

\[ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]

، نگاشت مشتق

\[ Df:\mathbb{R}^n\to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) \]

که به هر

\[ x \]

، ماتریس ژاکوبی

\[ f'(x) \]

را نسبت می دهد.

در هندسه دیفرانسیل، مشتق یک نگاشت

\[ f:M\to N \]

، نگاشت خطی

\[ df:TM\to TN \]

بین بسته های مماس است. این نگاشت مشتق (differential) نامیده می شود.

در جبر همولوژی، یک نگاشت مشتق (derived map) به نگاشت هایی گفته می شود که بین اشیاء مشتق شده (derived objects) مانند فانکتورهای مشتق (derived functors) تعریف می شوند. برای مثال، یک نگاشت بین دو شیء در رسته ی مشتق (derived category) ممکن است یک نگاشت مشتق نامیده شود.

در نظریه ی هموتوپی، نگاشت های مشتق به نگاشت های بین فضاهای هموتوپی اشاره دارند.

\[ Df: \mathbb{R}^n \to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) \quad,\quad df: TM \to TN \]

✏️ مثال: برای

\[ f(x)=x^2 \]

، نگاشت مشتق

\[ Df(x)=2x \]

(یک عدد) است. برای

\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]

،

\[ Df(x,y) \]

یک ماتریس

\[ 2\times 2 \]

است.