نگاشت حافظ ساختار (Structure-preserving Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت حافظ ساختار (Structure-preserving Map) :
در ریاضیات، یک نگاشت حافظ ساختار (structure-preserving map) یک نگاشت بین دو مجموعه ی مجهز به ساختارهای مشابه (مانند ساختار جبری، توپولوژیکی، هندسی) است که آن ساختارها را حفظ می کند. این مفهوم بنیادی در تمام شاخه های ریاضیات ظاهر می شود.
انواع مختلف ساختارها و نگاشت های حافظ آن ها عبارتند از:
همومورفیسم (homomorphism) برای ساختارهای جبری (گروه ها، حلقه ها، مدول ها).
نگاشت خطی (linear map) برای فضاهای برداری.
نگاشت پیوسته (continuous map) برای فضاهای توپولوژیکی.
ایزومتری (isometry) برای فضاهای متری.
دی فئومورفیسم (diffeomorphism) برای منیفلدهای هموار.
هم نما (conformal map) برای ساختارهای همدیس.
هم تافته (symplectomorphism) برای منیفلدهای سیمپلکتیک.
این نگاشت ها ریختار (morphisms) در رسته های مربوطه هستند و مطالعه ی آن ها هسته ی اصلی نظریه ی رسته ها را تشکیل می دهد.
\[ f: (X,\text{structure}_X) \to (Y,\text{structure}_Y) \quad,\quad \text{structure preserved} \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(x+y, x-y) \]یک نگاشت خطی (حافظ ساختار فضای برداری) است.
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ \]با
\[ f(x)=e^x \]یک همومورفیسم از گروه جمعی به گروه ضربی است.
