نگاشت معکوس (Inverse Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت معکوس (Inverse Map) :
اگر
\[ f:X\to Y \]یک نگاشت دوسویه (bijective) باشد، نگاشت معکوس (inverse map)
\[ f^{-1}:Y\to X \]به گونه ای تعریف می شود که
\[ f^{-1}(y)=x \]اگر و فقط اگر
\[ f(x)=y \]. این نگاشت نیز یک دوسویی است و
\[ f^{-1}\circ f = id_X \]و
\[ f\circ f^{-1}=id_Y \].
در آنالیز، اگر
\[ f \]یک تابع اکیدا یکنوا و پیوسته باشد، معکوس آن نیز پیوسته و یکنوا است. قضیه ی تابع معکوس (inverse function theorem) شرایطی را برای وجود معکوس موضعی یک تابع مشتق پذیر بیان می کند.
در جبر، اگر
\[ f \]یک همومورفیسم یکریخت (isomorphism) باشد، معکوس آن نیز یک همومورفیسم است. در نظریه ی گروه ها، نگاشت وارون (inversion map)
\[ g\mapsto g^{-1} \]یک پاد-خودریختی (anti-automorphism) است.
در هندسه، اگر
\[ f \]یک دی فئومورفیسم باشد، معکوس آن نیز دی فئومورفیسم است. در توپولوژی، اگر
\[ f \]یک هومئومورفیسم باشد، معکوس آن نیز پیوسته است.
\[ f^{-1}: Y \to X \quad,\quad f^{-1}(f(x)) = x,\ f(f^{-1}(y))=y \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=x^3 \]، معکوس آن
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y} \]است.
\[ f:(0,\infty)\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=\ln x \]، معکوس آن
\[ f^{-1}(y)=e^y \]است.
