نگاشت بین منیفلدهای با مرز (Map between Manifolds with Boundary)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت بین منیفلدهای با مرز (Map between Manifolds with Boundary) :
در هندسه دیفرانسیل و توپولوژی، یک نگاشت
\[ f:M\to N \]بین دو منیفلد با مرز (manifolds with boundary) معمولا به عنوان یک نگاشت هموار (smooth) در نظر گرفته می شود که ممکن است مرز را به مرز یا به داخل ببرد. بسته به مسئله، شرایط مختلفی روی
\[ f \]اعمال می شود. برای مثال، در نظریه ی مورس (Morse theory) روی منیفلدهای با مرز، توابعی در نظر گرفته می شوند که روی مرز رفتار خاصی دارند.
اگر
\[ f \]یک دی فئومورفیسم بین منیفلدهای با مرز باشد، باید مرز را به مرز ببرد و یک دی فئومورفیسم بین مرزها نیز القا کند. در مطالعه ی گروه های دی فئومورفیسم، این نگاشت ها اهمیت دارند.
در توپولوژی جبری، نگاشت های بین جفت ها (pairs)
\[ (M,\partial M) \]و
\[ (N,\partial N) \]مورد مطالعه قرار می گیرند. این نگاشت ها در کوهمولوژی نسبی (relative cohomology) و هموتوپی نسبی ظاهر می شوند.
در فیزیک، مسائل مقدار مرزی (مانند معادله ی لاپلاس روی یک دامنه) شامل نگاشت هایی هستند که روی مرز شرایط خاصی دارند.
\[ f: (M,\partial M) \to (N,\partial N) \quad,\quad f \text{ smooth} \]✏️ مثال:
\[ f:[0,1]\to [0,1] \]با
\[ f(x)=x^2 \]یک نگاشت هموار بین منیفلدهای ۱-بعدی با مرز است که مرز
\[ \{0,1\} \]را به مرز می برد.
\[ f(x)=\sin(\pi x/2) \]مرز
\[ 0 \]را به
\[ 0 \]می برد، اما
\[ 1 \]را به
\[ 1 \]می برد.
