نگاشت تقریبا باز (Almost Open Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تقریبا باز (Almost Open Map) :

در توپولوژی و آنالیز تابعی، یک نگاشت تقریبا باز (almost open map) یا تقریبا درونی (almost interior) به نگاشتی گفته می شود که تصویر هر مجموعه ی باز، مجموعه ای با درون (interior) ناتهی (غیرتهی) است، به شرطی که خود مجموعه ی باز تهی نباشد. گاهی تعاریف مختلفی برای این مفهوم وجود دارد.

در آنالیز تابعی، قضیه ی نگاشت باز (open mapping theorem) بیان می کند که یک عملگر خطی پیوسته و پوشا بین فضاهای باناخ، یک نگاشت باز است. یک نسخه ی ضعیف تر، مفهوم تقریبا باز بودن است که برای عملگرهایی که ممکن است پوشا نباشند نیز کاربرد دارد.

در توپولوژی عمومی، یک نگاشت

\[ f:X\to Y \]

تقریبا باز نامیده می شود اگر برای هر

\[ x\in X \]

و هر همسایگی

\[ U \]

از

\[ x \]

،

\[ f(U) \]

یک همسایگی از

\[ f(x) \]

باشد. این معادل با این است که

\[ f \]

در هر نقطه باز (open at each point) باشد. این خاصیت ضعیف تر از باز بودن سراسری است.

این مفهوم در مطالعه ی نگاشت های خارج قسمتی و شناسایی کاربرد دارد.

\[ \forall x\in X, \forall U \text{ neighbourhood of } x,\ f(U) \text{ neighbourhood of } f(x) \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x)=x^2 \]

تقریبا باز نیست (در

\[ x=0 \]

، تصویر بازه ی

\[ (-\epsilon,\epsilon) \]

برابر

\[ [0,\epsilon^2) \]

است که همسایگی صفر نیست).

\[ f(x)=x \]

باز است و تقریبا باز نیز هست.