نگاشت خارج قسمتی نسبت به بازتابنده (Quotient Map relative to a reflector)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت خارج قسمتی نسبت به بازتابنده (Quotient Map relative to a reflector) :
این مفهوم در نظریه ی رسته ها (category theory) و به طور خاص در ارتباط با رسته های بازتابی (reflective subcategories) ظاهر می شود. اگر
\[ \mathcal{C} \]یک رسته و
\[ \mathcal{D} \]یک زیررده ی بازتابی (reflective subcategory) از
\[ \mathcal{C} \]باشد، یک بازتابنده (reflector) یک فانکتور
\[ R:\mathcal{C}\to\mathcal{D} \]همراه با تبدیلات طبیعی
\[ \eta_X:X\to R(X) \](واحد بازتاب) است. یک نگاشت
\[ f:X\to Y \]در
\[ \mathcal{C} \]یک خارج قسمت نسبت به بازتابنده است اگر
\[ R(f) \]یکریخت (isomorphism) در
\[ \mathcal{D} \]باشد.
به طور ساده تر، این نگاشت ها آن هایی هستند که پس از اعمال بازتابنده، یکریخت می شوند. این مفهوم برای مطالعه ی ساختارهای خارج قسمتی در رسته های جبری و توپولوژیکی به کار می رود. برای مثال، در رسته ی فضاهای توپولوژیکی و زیررده ی فضاهای فشرده هاسدورف، بازتابنده، فشرده سازی استون-چک (Stone-Čech compactification) است.
در جبر، بازتابنده ها مانند آبلی سازی (abelianization) یک گروه (که یک گروه را به گروه آبلی خارج قسمتی آن می برد) عمل می کنند. یک نگاشت گروهی که پس از آبلی سازی یکریخت شود، یک خارج قسمت نسبت به آبلی ساز است.
\[ f: X\to Y \quad,\quad R(f) \text{ isomorphism in } \mathcal{D} \]✏️ مثال: در رسته ی گروه ها،
\[ \mathcal{D} \]= گروه های آبلی، بازتابنده
\[ R \]= آبلی سازی
\[ G\mapsto G/[G,G] \]. یک نگاشت
\[ f:G\to H \]که در آن
\[ H \]آبلی است، خارج قسمت نسبت به بازتابنده است اگر
\[ f \]پوشا باشد.
