نگاشت خارج قسمتی (Quotient Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت خارج قسمتی (Quotient Map) :

در توپولوژی و جبر، یک نگاشت خارج قسمتی (quotient map) یک نگاشت پوشا

\[ q:X\to Y \]

بین فضاهای توپولوژیکی است به طوری که یک زیرمجموعه

\[ U\subset Y \]

باز است اگر و فقط اگر

\[ q^{-1}(U)\subset X \]

باز باشد. به عبارت دیگر،

\[ Y \]

مجهز به توپولوژی خارج قسمتی (strong topology) نسبت به

\[ q \]

است.

این مفهوم برای ساخت فضاهای خارج قسمتی (مانند فضاهای حاصل از چسباندن نقاط معین) استفاده می شود. اگر یک رابطه ی هم ارزی

\[ \sim \]

روی

\[ X \]

داشته باشیم، آن گاه

\[ X/\sim \]

با توپولوژی خارج قسمتی یک فضای خارج قسمتی است و نگاشت طبیعی

\[ q:X\to X/\sim \]

یک نگاشت خارج قسمتی است.

در جبر خطی، یک نگاشت خارج قسمتی (در جبر) معمولا به نگاشت طبیعی از یک فضای برداری به فضای خارج قسمتی آن نسبت به یک زیرفضا اشاره دارد:

\[ q:V\to V/W \]

. این نگاشت خطی و پوشا است.

خواص مهم: هر نگاشت خارج قسمتی پیوسته است، اما لزومی ندارد باز یا بسته باشد. تصویر یک فضای فشرده تحت یک نگاشت خارج قسمتی، فشرده است.

\[ U\subset Y \text{ باز } \iff q^{-1}(U) \subset X \text{ باز } \]

✏️ مثال:

\[ q:[0,1]\to S^1 \]

با

\[ q(t)=e^{2\pi i t} \]

یک نگاشت خارج قسمتی است (با شناسایی نقاط ۰ و ۱).

\[ q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2/\sim \]

که در آن

\[ (x,y)\sim (x+n,y+m) \]

یک نگاشت خارج قسمتی به چنبره است.