تابعی خطی کراندار (Bounded Linear Functional)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تابعی خطی کراندار (Bounded Linear Functional) :
در آنالیز تابعی، یک تابعی خطی
\[ f:X\to \mathbb{F} \]روی یک فضای نرم دار
\[ X \]کراندار (bounded) نامیده می شود اگر یک ثابت
\[ C>0 \]وجود داشته باشد به طوری که
\[ |f(x)| \le C \|x\| \]برای همه
\[ x\in X \]. کوچک ترین چنین
\[ C \]را نرم تابعی
\[ \|f\| \]می نامند. تابعی های خطی کراندار دقیقا همان تابعی های خطی پیوسته هستند.
مجموعه ی همه ی تابعی های خطی کراندار روی
\[ X \]، فضای دوگان پیوسته
\[ X^* \]را تشکیل می دهد که خود یک فضای باناخ (Banach space) با نرم فوق است. دوگان فضاهای تابعی کلاسیک مانند
\[ L^p \]و
\[ C(K) \]به خوبی شناخته شده اند. برای مثال، دوگان
\[ L^p \]برای
\[ 1\le p<\infty \]،
\[ L^q \]است با
\[ 1/p+1/q=1 \]، و دوگان
\[ C([0,1]) \]فضای اندازه های رادون (Radon measures) است.
قضیه ی هان-باناخ (Hahn-Banach theorem) تضمین می کند که می توان تابعی های خطی کراندار را از زیرفضاها به کل فضا گسترش داد، که ابزار مهمی در آنالیز تابعی است.
در فیزیک، تابعی های خطی کراندار روی فضاهای هیلبرت توسط قضیه ی نمایش ریز (Riesz representation theorem) با بردارها متناظرند: هر تابعی خطی کراندار
\[ f \]روی فضای هیلبرت
\[ H \]به صورت
\[ f(x)=\langle x, y\rangle \]برای یک
\[ y\in H \]یکتا نمایش داده می شود.
\[ |f(x)| \le C\|x\| \quad,\quad \|f\| = \sup_{\|x\|\le 1} |f(x)| \]✏️ مثال: روی
\[ L^2([0,1]) \]،
\[ f(g)=\int_0^1 g(x)dx \]کراندار است با
\[ \|f\| = 1 \](چرا که با نرم
\[ L^2 \]، توسط نامساوی کوشی-شوارتز،
\[ |\int g| \le \|g\|_2 \]). روی
\[ C([0,1]) \]با نرم سوپ،
\[ f(g)=\int_0^1 g(x)dx \]کراندار است.
