تابعی خطی (Linear Functional)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تابعی خطی (Linear Functional) :
در جبر خطی و آنالیز تابعی، یک تابعی خطی (linear functional) یک نگاشت خطی از یک فضای برداری به میدان پایه آن است. اگر
\[ V \]یک فضای برداری روی میدان
\[ F \](معمولا
\[ \mathbb{R} \]یا
\[ \mathbb{C} \]) باشد، یک تابعی خطی
\[ f:V\to F \]است که برای همه
\[ x,y\in V \]و
\[ \alpha,\beta\in F \]،
\[ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \].
مجموعه ی همه ی تابعی های خطی روی
\[ V \]، فضای دوگان (dual space)
\[ V^* \]را تشکیل می دهد. اگر
\[ V \]دارای بعد متناهی
\[ n \]باشد، آن گاه
\[ V^* \]نیز دارای بعد
\[ n \]است و با انتخاب یک پایه، هر تابعی خطی را می توان به صورت ضرب داخلی با یک بردار نمایش داد.
در فضاهای با بعد نامتناهی (مانند فضاهای تابعی)، تابعی های خطی ممکن است کراندار (پیوسته) یا ناکراندار باشند. تابعی های خطی کراندار روی فضاهای نرم دار، فضای دوگان پیوسته (continuous dual) را تشکیل می دهند.
مثال های مهم: در
\[ \mathbb{R}^n \]،
\[ f(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n \]یک تابعی خطی است. روی
\[ C([0,1]) \]،
\[ f(g)=\int_0^1 g(x)dx \]یک تابعی خطی کراندار است. روی
\[ L^p \]، تابعی های خطی توسط قضیه ی نمایش ریز (برای
\[ p=2 \]) یا توسط دوگان
\[ L^p \](برای
\[ 1\le p<\infty \]) نمایش داده می شوند.
در فیزیک، تابعی های خطی برای نمایش مقادیر چشمداشتی (expectation values) در مکانیک کوانتومی به کار می روند.
\[ f: V \to F \quad,\quad f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x,y)=2x-3y \]. روی
\[ L^2([0,1]) \]،
\[ f(g)=\int_0^1 g(x) dx \]یک تابعی خطی کراندار است.
