عملگر پیمانه ای (Modular Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر پیمانه ای (Modular Operator) :
در نظریه ی جبرهای فون نویمان (von Neumann algebras) و نظریه ی مدولار توما-تاکساکی (Takesaki modular theory)، عملگر پیمانه ای (modular operator) یک عملگر مثبت و خودالحاق (معمولا ناکراندار) است که با یک حالت (state) وفادار و نرمال روی یک جبر فون نویمان مرتبط است. اگر
\[ \mathcal{M} \]یک جبر فون نویمان روی فضای هیلبرت
\[ H \]و
\[ \Omega \]یک بردار جداکننده و حلقوی (cyclic and separating) برای
\[ \mathcal{M} \]باشد، آن گاه عملگر پیمانه ای
\[ \Delta \]و عملگر پیمانه ای مزدوج
\[ J \]به گونه ای تعریف می شوند که قضیه ی تجزیه ی قطبی (polar decomposition) عملگر بسته
\[ S_0:\mathcal{M}\Omega\to \mathcal{M}\Omega \]با
\[ S_0 x\Omega = x^*\Omega \]به
\[ S = J\Delta^{1/2} \]منجر می شود.
این ساختار در فیزیک آماری و نظریه ی میدان های کوانتومی برای توصیف حالت های تعادل گرمایی (KMS states) و دوگانگی (duality) اهمیت دارد. عملگر پیمانه ای
\[ \Delta^{it} \]یک گروه یک پارامتری از خودریختی های
\[ \mathcal{M} \](جریان مدولار) را تولید می کند.
در نظریه ی میدان های همدیس (CFT)، عملگر پیمانه ای با تبدیلات مدولار روی چنبره مرتبط است. در نظریه ی اطلاعات کوانتومی، عملگرهای پیمانه ای برای مطالعه ی آنتروپی نسبی و کمیت های مشابه به کار می روند.
عملگر پیمانه ای یک مفهوم عمیق در آنالیز تابعی و فیزیک ریاضی است که ساختار جبرهای فون نویمان را به حالت های روی آن ها مرتبط می کند.
\[ S = J\Delta^{1/2} \quad,\quad \Delta = S^*S \quad,\quad J = J^*,\ J^2=I \]✏️ مثال: برای جبر
\[ L^\infty([0,1]) \]با اندازه ی لبگ و بردار
\[ \Omega=1 \]، عملگر پیمانه ای
\[ \Delta = I \]و
\[ Jf = \bar{f} \]است (چون جبر جابجایی است). برای جبرهای غیرجابجایی (مانند جبر ماتریس ها)، ساختار پیچیده تر است.
