عملگر هانکل (Hankel Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر هانکل (Hankel Operator) :

یک عملگر هانکل (Hankel operator) روی فضای هاردی

\[ H^2(\mathbb{T}) \]

به صورت

\[ H_\phi f = J(I-P)(\phi f) \]

یا به طور ساده تر

\[ H_\phi f = P(\phi Jf) \]

با تعاریف مختلف تعریف می شود، که در آن

\[ J \]

عملگر بازگشت (reversal) روی ضرایب فوریه است. ماتریس متناظر با یک عملگر هانکل، یک ماتریس هانکل (Hankel matrix) است که درایه های آن روی پادقطرها (anti-diagonals) ثابت هستند:

\[ H_{ij} = a_{i+j} \]

.

عملگرهای هانکل در نظریه ی توابع تحلیلی، نظریه ی کنترل (مسئله ی تخمین)، و پردازش سیگنال (تشخیص سیستم) کاربرد دارند. آن ها با ضرایب فوریه ی منفی نماد

\[ \phi \]

مرتبط هستند.

عملگرهای هانکل معمولا فشرده (compact) هستند اگر نماد

\[ \phi \]

به اندازه کافی هموار باشد. آن ها در مطالعه ی مسئله ی گشایش مومنت (moment problem) و تقریب هانکل نرم (Hankel norm approximation) اهمیت دارند.

در فیزیک، عملگرهای هانکل در نظریه ی پراکندگی و معادلات انتگرالی ظاهر می شوند.

\[ H_\phi f = P(\phi Jf) \quad,\quad (H_\phi)_{n,m} = \hat{\phi}(n+m+1) \ (n,m\ge 0) \]

✏️ مثال: ماتریس هانکل با درایه های

\[ a_{i+j} \]

مانند

\[ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_2 & a_3 & a_4 \\ a_3 & a_4 & a_5 \end{pmatrix} \]

. عملگر هانکل با نماد

\[ \phi \]

که ضرایب فوریه ی آن

\[ a_n \]

هستند.