عملگر تافته (Toeplitz Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر تافته (Toeplitz Operator) :

در آنالیز تابعی و نظریه ی عملگرها، یک عملگر تافته (Toeplitz operator) روی فضای هاردی

\[ H^2(\mathbb{T}) \]

(فضای توابع تحلیلی روی دیسک با سری فوریه ی یک سویه) به صورت

\[ T_\phi f = P(\phi f) \]

تعریف می شود، که در آن

\[ \phi \]

یک تابع کراندار روی دایره (نماد) و

\[ P \]

تصویر متعامد از

\[ L^2(\mathbb{T}) \]

به

\[ H^2(\mathbb{T}) \]

است. ماتریس متناظر با یک عملگر تافته نسبت به پایه ی متعارف

\[ \{e^{in\theta}\}_{n\ge 0} \]

، یک ماتریس تافته (Toeplitz matrix) است که درایه های آن روی قطرهای موازی ثابت هستند:

\[ T_{ij} = a_{i-j} \]

.

عملگرهای تافته در آنالیز هارمونیک، نظریه ی موجک، و فیزیک ریاضی کاربرد دارند. آن ها تعمیمی از عملگرهای کانولوشن روی نیم خط هستند. مطالعه ی طیف و خواص آن ها ارتباط نزدیکی با نظریه ی توابع تحلیلی دارد.

عملگرهای تافته با نمادهای تحلیلی (که ضرایب فوریه ی منفی صفر دارند) عملگرهای ضربی روی

\[ H^2 \]

هستند. در غیر این صورت، آن ها عملگرهای نرمال نیستند.

در پردازش سیگنال، ماتریس های تافته در تخمین طیف و فیلتر کردن ظاهر می شوند.

\[ T_\phi f = P(\phi f) \quad,\quad (T_\phi)_{n,m} = \hat{\phi}(n-m) \ (n,m\ge 0) \]

✏️ مثال: ماتریس تافته با درایه های

\[ a_{i-j} \]

مانند

\[ \begin{pmatrix} a_0 & a_{-1} & a_{-2} \\ a_1 & a_0 & a_{-1} \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{pmatrix} \]

. عملگر تافته با نماد

\[ \phi(e^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{in\theta} \]

.