عملگر ضربی (Multiplication Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر ضربی (Multiplication Operator) :

یک عملگر ضربی (multiplication operator) روی یک فضای تابعی (مانند

\[ L^2(X,\mu) \]

) به صورت

\[ (M_g f)(x) = g(x) f(x) \]

تعریف می شود که در آن

\[ g \]

یک تابع measurable (و معمولا کراندار) است. این عملگر یک عملگر خطی است و اگر

\[ g \]

کراندار باشد، عملگر کراندار با نرم

\[ \|M_g\| = \|g\|_\infty \]

خواهد بود.

عملگرهای ضربی مثال های مهمی از عملگرهای نرمال (normal) هستند، زیرا

\[ M_g^* = M_{\bar{g}} \]

و این ها جابجا می شوند. آن ها قطری (diagonal) در یک نمایش مناسب هستند و طیف آن ها برابر با طیف اساسی (essential range) تابع

\[ g \]

است.

در نظریه ی طیفی، عملگرهای ضربی نقش اساسی دارند. قضیه ی طیفی برای عملگرهای نرمال، آن ها را به عملگرهای ضربی روی یک فضای

\[ L^2 \]

تبدیل می کند. عملگرهای ضربی با توابع

\[ g \]

حقیقی، خودالحاق هستند.

در مکانیک کوانتومی، عملگر مکان

\[ \hat{x} \]

روی

\[ L^2(\mathbb{R}) \]

یک عملگر ضربی با

\[ g(x)=x \]

است (ناکراندار). عملگر تکانه نیز پس از تبدیل فوریه، به یک عملگر ضربی تبدیل می شود.

\[ (M_g f)(x) = g(x) f(x) \quad,\quad \|M_g\| = \|g\|_\infty \]

✏️ مثال: روی

\[ L^2([0,1]) \]

،

\[ M_{x^2} \]

یک عملگر ضربی با

\[ g(x)=x^2 \]

است. عملگر

\[ M_{\chi_A} \]

(ضرب در تابع مشخصه) یک تصویر متعامد روی زیرفضای توابع با تکیه گاه در

\[ A \]

است.