عملگر کلاس رد (Trace Class Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر کلاس رد (Trace Class Operator) :

یک عملگر کلاس رد (trace class operator) یک عملگر فشرده

\[ T:H\to H \]

روی فضای هیلبرت

\[ H \]

است که برای یک پایه ی متعارف

\[ \{e_i\} \]

،

\[ \sum_i \langle |T| e_i, e_i\rangle < \infty \]

که

\[ |T| = \sqrt{T^*T} \]

. در این صورت، رد (trace) آن به صورت

\[ \text{tr}(T) = \sum_i \langle T e_i, e_i\rangle \]

تعریف می شود که مستقل از انتخاب پایه است.

عملگرهای کلاس رد، تعمیم ماتریس هایی با رد متناهی به فضاهای با بعد نامتناهی هستند. آن ها یک ایده آل دوطرفه در جبر عملگرهای کراندار تشکیل می دهند و شامل عملگرهای هیلبرت-اشمیت (زیرا

\[ \|T\|_{HS}^2 = \text{tr}(T^*T) \]

) می باشند. اما عملگرهای هیلبرت-اشمیت لزوما کلاس رد نیستند.

در مکانیک آماری و مکانیک کوانتومی، حالت های کوانتومی (عملگرهای چگالی) عملگرهای کلاس رد مثبت با رد ۱ هستند. رد یک عملگر، انتظار آماری مشاهده پذیر را در حالت مختلط می دهد.

عملگرهای کلاس رد در نظریه ی عملگرها و آنالیز تابعی برای مطالعه ی دوگان فضاهای عملگری اهمیت دارند.

\[ \text{tr}(T) = \sum_i \langle T e_i, e_i\rangle \quad,\quad T \text{ trace class} \iff \sum_i \langle |T| e_i, e_i\rangle < \infty \]

✏️ مثال: عملگر دیاگونال

\[ T e_n = \lambda_n e_n \]

روی

\[ l^2 \]

با

\[ \sum |\lambda_n| < \infty \]

کلاس رد است. عملگر ولترا روی

\[ L^2([0,1]) \]

کلاس رد نیست (زیرا

\[ \|T\|_{HS}^2 = 1/2 \]

، اما برای کلاس رد بودن به شرایط قوی تری نیاز است). عملگر چگالی در مکانیک کوانتومی کلاس رد است.