عملگر هیلبرت-اشمیت (Hilbert-Schmidt Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر هیلبرت-اشمیت (Hilbert-Schmidt Operator) :

یک عملگر هیلبرت-اشمیت (Hilbert-Schmidt operator) یک عملگر خطی فشرده

\[ T:H\to K \]

بین فضاهای هیلبرت است که برای یک پایه ی متعارف

\[ \{e_i\} \]

از

\[ H \]

،

\[ \sum_i \|Te_i\|^2 < \infty \]

. این شرط مستقل از انتخاب پایه است. نرم هیلبرت-اشمیت به صورت

\[ \|T\|_{HS} = \left(\sum_i \|Te_i\|^2\right)^{1/2} \]

تعریف می شود.

عملگرهای هیلبرت-اشمیت تعمیم ماتریس هایی با نرم فروبنیوس (Frobenius norm) به فضاهای با بعد نامتناهی هستند. آن ها یک فضای هیلبرت را تحت ضرب داخلی

\[ \langle T,S\rangle_{HS} = \sum_i \langle Te_i, Se_i\rangle \]

تشکیل می دهند.

هر عملگر هیلبرت-اشمیت فشرده است و برعکس، یک عملگر فشرده لزوما هیلبرت-اشمیت نیست (مثلا عملگرهای با نرم طیفی). عملگرهای انتگرالی با هسته ی مربع پذیر

\[ (K\in L^2(\Omega\times\Omega)) \]

روی

\[ L^2(\Omega) \]

، عملگرهای هیلبرت-اشمیت هستند.

در فیزیک کوانتومی، عملگرهای چگالی (density operators) روی فضاهای هیلبرت با بعد نامتناهی، معمولا عملگرهای کلاس رد (trace class) هستند که زیرمجموعه ای از عملگرهای هیلبرت-اشمیت می باشند.

\[ \sum_i \|Te_i\|^2 < \infty \quad,\quad \|T\|_{HS}^2 = \int |K(x,y)|^2 dxdy \]

✏️ مثال: عملگر

\[ (Tf)(x) = \int_0^1 e^{xy} f(y) dy \]

روی

\[ L^2([0,1]) \]

یک عملگر هیلبرت-اشمیت است (چون هسته اش

\[ e^{xy} \]

مربع پذیر است). عملگر ولترا نیز هیلبرت-اشمیت است.