عملگر فردهولم (Fredholm Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر فردهولم (Fredholm Operator) :
در آنالیز تابعی، یک عملگر فردهولم (Fredholm operator) یک عملگر خطی کراندار
\[ T:X\to Y \]بین فضاهای باناخ است که دارای هسته ی با بعد متناهی (finite-dimensional kernel) و هم هسته ی با بعد متناهی (finite-dimensional cokernel) و تصویر بسته (closed range) باشد. اندیس (index) یک عملگر فردهولم به صورت
\[ \text{ind}(T) = \dim \ker T - \dim \text{coker} T \]تعریف می شود.
عملگرهای فردهولم تعمیم عملگرهای معکوس پذیر (که اندیس صفر دارند) هستند. آن ها در نظریه ی معادلات انتگرالی (معادلات فردهولم) و در هندسه (نظریه ی اندیس آتیا-سینگر (Atiyah-Singer index theorem)) نقش اساسی دارند.
یک عملگر فردهولم با اندیس صفر، یک عملگر فِرُهولم با خاصیت شبه-معکوس پذیری است. عملگرهای دیفرانسیلی بیضوی (elliptic differential operators) روی منیفلدهای فشرده، عملگرهای فردهولم هستند و اندیس آن ها توسط قضیه ی اندیس محاسبه می شود.
خواص: جمع یک عملگر فردهولم با یک عملگر فشرده، فردهولم است و اندیس آن تغییر نمی کند. همچنین ضرب دو عملگر فردهولم، فردهولم است و اندیس ها جمع می شوند.
\[ \dim \ker T < \infty,\ \dim \text{coker} T < \infty,\ \text{Im} T \text{ بسته} \quad,\quad \text{ind}(T) = \dim \ker T - \dim \text{coker} T \]✏️ مثال: عملگر شیفت یک طرفه
\[ S:l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N}) \]با
\[ (Sx)_n = x_{n+1} \]یک عملگر فردهولم با اندیس ۱ است (چون
\[ \ker S = 0 \]،
\[ \text{coker} S \cong \mathbb{C} \]). عملگر مشتق
\[ d/dx \]روی فضای توابع هموار روی دایره با شرایط مناسب ممکن است فردهولم باشد.
