عملگر ولترا (Volterra Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر ولترا (Volterra Operator) :

عملگر ولترا (Volterra operator) یک نوع خاص از عملگر انتگرالی است که در آن کران های انتگرال وابسته به متغیر هستند. شکل استاندارد آن در فضای

\[ L^2([0,1]) \]

به صورت

\[ (Vf)(x) = \int_0^x f(t) dt \]

تعریف می شود. این عملگر یک عملگر انتگرالی با هسته ی

\[ K(x,t) = 1 \]

برای

\[ t\le x \]

و

\[ 0 \]

برای

\[ t>x \]

است.

عملگر ولترا یک عملگر فشرده (compact) است و طیف آن فقط شامل صفر است (یک عملگر پوچتوان (quasi-nilpotent)). مقادیر ویژه ای ندارد، اما طیف آن

\[ \{0\} \]

است. این عملگر در مطالعه ی معادلات انتگرالی نوع دوم و معادلات دیفرانسیل معمولی (تبدیل به معادله ی انتگرالی) اهمیت دارد.

عملگر ولترا یک مثال کلاسیک از یک عملگر فشرده با هیچ بردار ویژه ای است. توان های آن

\[ (V^n f)(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t) dt \]

هستند.

این عملگر در نظریه ی کنترل و معادلات انتگرالی ظاهر می شود. همچنین در مطالعه ی عملگرهای یک پارامتری از نیم گروه ها (semigroups) نقش دارد.

\[ (Vf)(x) = \int_0^x f(t) dt \quad,\quad x\in[0,1] \]

✏️ مثال: اگر

\[ f(t)=t \]

، آن گاه

\[ (Vf)(x) = \int_0^x t dt = x^2/2 \]

.

\[ V \]

روی

\[ L^2([0,1]) \]

فشرده و پوچتوان است.