عملگر انتگرالی (Integral Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر انتگرالی (Integral Operator) :

یک عملگر انتگرالی (integral operator) یک عملگر خطی است که بر روی توابع با یک انتگرال عمل می کند. به طور کلی،

\[ (Tf)(x) = \int_{\Omega} K(x,y) f(y) dy \]

که در آن

\[ K \]

هسته (kernel) عملگر نامیده می شود. دامنه و برد عملگر معمولا فضاهای تابعی مانند

\[ L^p \]

یا

\[ C(\Omega) \]

هستند.

عملگرهای انتگرالی در حل معادلات انتگرالی (مانند معادلات فردهولم و ولترا) و در فیزیک ریاضی (نظریه ی پتانسیل) کاربرد فراوان دارند. اگر هسته

\[ K \]

شرایط مناسبی داشته باشد (مانند پیوستگی یا مربع پذیری)، عملگر می تواند فشرده (compact) باشد.

دو نوع اصلی معادلات انتگرالی وجود دارد: نوع اول

\[ (Tf=g) \]

و نوع دوم

\[ (f - \lambda Tf = g) \]

. عملگرهای انتگرالی با هسته های خاص، مانند هسته ی گرین (Green's function)، برای حل معادلات دیفرانسیل به کار می روند.

در نظریه ی عملگرها، عملگرهای انتگرالی با هسته های هیلبرت-اشمیت (Hilbert-Schmidt kernel) یک کلاس مهم از عملگرهای فشرده را تشکیل می دهند.

در پردازش سیگنال، عملگرهای انتگرالی با هسته های کانولوشن (convolution kernels) برای فیلتر کردن سیگنال ها استفاده می شوند.

\[ (Tf)(x) = \int_{\Omega} K(x,y) f(y) dy \]

✏️ مثال: عملگر لاپلاس معکوس (پتانسیل نیوتنی)

\[ (Tf)(x) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{f(y)}{|x-y|} dy \]

. عملگر کانولوشن

\[ (Tf)(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x-y) f(y) dy \]

.