عملگر دیفرانسیلی (Differential Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر دیفرانسیلی (Differential Operator) :

یک عملگر دیفرانسیلی (differential operator) یک عملگر خطی (یا غیرخطی) است که بر روی توابع مشتق پذیر اعمال می شود و شامل مشتقات تابع می باشد. ساده ترین مثال، عملگر مشتق

\[ \frac{d}{dx} \]

است. یک عملگر دیفرانسیلی خطی عمومی تر به صورت

\[ L = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha \]

نوشته می شود که در آن

\[ \alpha \]

چند‌شاخص (multi-index) و

\[ D^\alpha \]

مشتقات جزئی هستند.

عملگرهای دیفرانسیلی در معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی نقش اساسی دارند. آن ها معمولا عملگرهای ناکراندار روی فضاهای تابعی هستند و برای مطالعه ی آن ها نیاز به فضاهای سوبولف (Sobolev spaces) و نظریه ی عملگرهای ناکراندار است.

مثال های مهم: عملگر لاپلاس

\[ \Delta = \sum \partial^2/\partial x_i^2 \]

، عملگر دالامبر

\[ \square = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta \]

، و عملگر دیفرانسیلی معمولی مانند

\[ L = a_n(x) \frac{d^n}{dx^n} + \cdots + a_0(x) \]

.

در فیزیک، عملگرهای دیفرانسیلی برای بیان قوانین بنیادی (معادله ی موج، معادله ی گرما، معادله ی شرودینگر) استفاده می شوند. عملگر هامیلتونی

\[ H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V \]

در مکانیک کوانتومی یک عملگر دیفرانسیلی است.

نظریه ی طیفی عملگرهای دیفرانسیلی (مسئله ی اشتورم-لیوویل) به مطالعه ی مقادیر ویژه و توابع ویژه ی آن ها می پردازد.

\[ L = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha \quad,\quad D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}} \]

✏️ مثال:

\[ L = \frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + 1 \]

یک عملگر دیفرانسیلی خطی روی

\[ \mathbb{R} \]

است. عملگر لاپلاس

\[ \Delta \]

در

\[ \mathbb{R}^n \]

، عملگر شرودینگر

\[ -\Delta + V(x) \]

.