عملگر تصویری (Projection Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر تصویری (Projection Operator) :
در آنالیز تابعی و جبر خطی، یک عملگر تصویری (projection operator) یک عملگر خطی خودتوان
\[ P:H\to H \](یعنی
\[ P^2=P \]) است که معمولا خودالحاق (orthogonal projection) نیز می باشد. یک تصویر متعامد (orthogonal projection) روی یک زیرفضای بسته
\[ M\subset H \]، یک عملگر خودالحاق و خودتوان است که
\[ P(H)=M \]و
\[ P|_{M}=id_M \]،
\[ P|_{M^\perp}=0 \].
تصویرهای متعامد در نظریه ی فضاهای هیلبرت و مکانیک کوانتومی (برای نمایش زیرفضاهای حالت) اهمیت دارند. آن ها با اندازه گیری های کوانتومی و تصویر روی حالت های ویژه مرتبط هستند.
یک تصویر (غیر متعامد) (idempotent) لزوما خودالحاق نیست و ممکن است به صورت مایل (oblique) روی یک زیرفضا در امتداد یک زیرفضای دیگر تصویر کند. این نوع تصویرها در جبر خطی و آنالیز عددی (روش های تکراری) ظاهر می شوند.
در نظریه ی عملگرها، تصویرهای طیفی (spectral projections) که در قضیه ی طیفی ظاهر می شوند، تصویرهای متعامد روی زیرفضاهای طیفی هستند.
تصویرها در معادلات انتگرالی و روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل (روش گالرکین) استفاده می شوند.
\[ P^2 = P \quad,\quad P^* = P \text{ (برای تصویر متعامد)} \]✏️ مثال:
\[ P:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \]با
\[ P(x,y,z)=(x,y,0) \]یک تصویر متعامد روی صفحه ی
\[ xy \]است. در
\[ L^2([0,1]) \]،
\[ Pf \]= تابعی که روی
\[ [0,1/2] \]با
\[ f \]برابر و روی
\[ [1/2,1] \]صفر است، یک تصویر متعامد روی زیرفضای توابع با تکیه گاه در
\[ [0,1/2] \]است.
