عملگر مثبت (Positive Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر مثبت (Positive Operator) :

در آنالیز تابعی، یک عملگر خودالحاق

\[ P:H\to H \]

روی فضای هیلبرت

\[ H \]

مثبت (positive) نامیده می شود اگر

\[ \langle Px, x\rangle \ge 0 \]

برای همه

\[ x\in H \]

. گاهی به آن نیمه معین مثبت (positive semidefinite) نیز می گویند. اگر نامساوی اکید باشد (برای

\[ x\neq 0 \]

،

\[ \langle Px, x\rangle >0 \]

)، آن را مثبت معین (positive definite) می نامیم.

عملگرهای مثبت نقش اساسی در مکانیک کوانتومی (عملگر چگالی)، نظریه ی احتمال (کوواریانس)، و آنالیز تابعی دارند. آن ها یک مخروط (cone) در فضای عملگرهای خودالحاق تشکیل می دهند.

هر عملگر مثبت دارای یک جذر مثبت یکتا (positive square root) است: یک عملگر مثبت

\[ Q \]

که

\[ Q^2 = P \]

(و با

\[ P \]

جابجا می شود). این جذر در نظریه ی عملگرها و آنالیز ماتریسی کاربرد دارد.

در جبر خطی، یک ماتریس هرمیتی

\[ A \]

مثبت است اگر و فقط اگر همه ی مقادیر ویژه ی آن نامنفی باشند. برای یک ماتریس مثبت، می توان تجزیه ی چولسکی (Cholesky decomposition) را انجام داد.

عملگرهای مثبت در معادلات دیفرانسیل و فیزیک ریاضی (مانند عملگر لاپلاس با شرایط مرزی) ظاهر می شوند.

\[ P^* = P \quad,\quad \langle Px, x\rangle \ge 0 \ \forall x \]

✏️ مثال: ماتریس

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

مثبت است (زیرا مقادیر ویژه ی آن مثبت هستند). عملگر

\[ -\Delta \]

(منفی لاپلاسین) با شرایط مرزی دیریکله روی یک دامنه، یک عملگر مثبت است.