عملگر نرمال (Normal Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر نرمال (Normal Operator) :
یک عملگر خطی کراندار
\[ N:H\to H \]روی فضای هیلبرت
\[ H \]نرمال (normal) نامیده می شود اگر با الحاق خود جابجا شود:
\[ N^*N = NN^* \]. این شرط، دسته ای از عملگرها را شامل می شود که شامل عملگرهای خودالحاق (
\[ N=N^* \])، عملگرهای یکانی (
\[ N^*=N^{-1} \])، و عملگرهای پاد-خودالحاق (skew-adjoint) (
\[ N^*=-N \]) است.
عملگرهای نرمال اهمیت زیادی در نظریه ی طیفی دارند، زیرا قضیه ی طیفی برای آن ها برقرار است: هر عملگر نرمال فشرده را می توان به صورت یک سری از تصویرهای روی زیرفضاهای ویژه (که متعامد هستند) نمایش داد. در فضای با بعد متناهی، یک ماتریس نرمال است اگر و فقط اگر توسط یک ماتریس یکانی قطری شونده باشد.
طیف یک عملگر نرمال خواص خوبی دارد. برای مثال، شعاع طیفی (spectral radius) برابر نرم عملگر است. همچنین بردارهای ویژه ی متناظر با مقادیر ویژه ی متمایز، متعامد هستند.
در مکانیک کوانتومی، عملگرهای نرمال (به ویژه خودالحاق) برای نمایش مشاهده پذیرها استفاده می شوند. عملگرهای یکانی نیز برای تقارن ها و تحول زمانی به کار می روند.
\[ N^*N = NN^* \]✏️ مثال: ماتریس
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]نرمال نیست. ماتریس های خودالحاق، یکانی، و پاد-خودالحاق همگی نرمال هستند. عملگر ضرب
\[ M_g \]روی
\[ L^2 \]با
\[ g\in L^\infty \]نرمال است (چون
\[ M_g^* = M_{\bar{g}} \]و این ها جابجا می شوند).
