عملگر یکانی (Unitary Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر یکانی (Unitary Operator) :

در آنالیز تابعی، یک عملگر خطی

\[ U:H\to K \]

بین فضاهای هیلبرت یکانی (unitary) نامیده می شود اگر یک دوسویی (bijection) باشد و ضرب داخلی را حفظ کند:

\[ \langle Ux, Uy\rangle = \langle x, y\rangle \]

برای همه

\[ x,y\in H \]

. این شرط معادل

\[ U^*U = I_H \]

و

\[ UU^* = I_K \]

است.

عملگرهای یکانی، ایزومورفیسم ها در رسته ی فضاهای هیلبرت هستند. آن ها ساختار ضرب داخلی (و در نتیجه نرم، زاویه، و متعامد بودن) را حفظ می کنند. در فضای با بعد متناهی روی

\[ \mathbb{C} \]

، ماتریس های یکانی ماتریس هایی هستند که

\[ U^*U = I \]

، یعنی ستون های آن ها یک پایه ی متعامد یکه تشکیل می دهند.

در مکانیک کوانتومی، تحول زمانی یک سیستم بسته توسط یک عملگر یکانی (عملگر تکامل) توصیف می شود:

\[ |\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle \]

که

\[ U(t)=e^{-iHt/\hbar} \]

با

\[ H \]

خودالحاق است. همچنین تقارن ها (مانند چرخش ها) توسط عملگرهای یکانی نمایش داده می شوند.

عملگرهای یکانی طیفی روی دایره ی واحد دارند (مقادیر ویژه ی آن ها اعداد مختلط با قدر مطلق ۱ هستند). آن ها یک گروه تشکیل می دهند (گروه یکانی).

\[ U^*U = UU^* = I \quad,\quad \langle Ux, Uy\rangle = \langle x, y\rangle \]

✏️ مثال: تبدیل فوریه

\[ \mathcal{F}:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R}) \]

(با نرمال سازی مناسب) یک عملگر یکانی است. ماتریس های دوران در

\[ \mathbb{R}^2 \]

(متعامد با دترمینان ۱) یکانی هستند. عملگر جابجایی

\[ (Sx)_n = x_{n+1} \]

روی

\[ l^2(\mathbb{Z}) \]

یکانی است.