عملگر خودالحاقی (Self-Adjoint Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر خودالحاقی (Self-Adjoint Operator) :

یک عملگر خطی کراندار

\[ T:H\to H \]

روی فضای هیلبرت

\[ H \]

خودالحاق (self-adjoint) یا هرمیتی (Hermitian) نامیده می شود اگر

\[ T = T^* \]

، یعنی

\[ \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle \]

برای همه

\[ x,y\in H \]

. برای عملگرهای ناکراندار، تعریف دقیق تری نیاز است که شامل دامنه ی عملگر نیز می شود.

عملگرهای خودالحاق نقش اساسی در مکانیک کوانتومی دارند، زیرا مشاهده پذیرهای فیزیکی (مانند مکان، تکانه، انرژی) با عملگرهای خودالحاق نمایش داده می شوند. مقادیر ویژه ی آن ها حقیقی هستند و بردارهای ویژه ی متناظر با مقادیر ویژه ی مختلف، متعامدند.

قضیه ی طیفی (spectral theorem) برای عملگرهای خودالحاق (کراندار) بیان می کند که آن ها را می توان به صورت یک انتگرال بر روی تصویرهای طیفی نمایش داد. برای عملگرهای فشرده خودالحاق، این به یک سری از تصویرهای روی زیرفضاهای ویژه تبدیل می شود.

در جبر خطی، ماتریس های خودالحاق (هرمیتی) ماتریس هایی هستند که با ترانهاده ی مزدوج خود برابرند:

\[ A = A^* \]

. این ماتریس ها درایه های قطری حقیقی دارند.

عملگرهای خودالحاق در معادلات دیفرانسیل (مانند عملگر شرودینگر و عملگر استورم-لیوویل) ظاهر می شوند.

\[ T = T^* \quad,\quad \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle \ \forall x,y \]

✏️ مثال: ماتریس

\[ \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix} \]

خودالحاق است. عملگر مکان

\[ (\hat{x}f)(x)=xf(x) \]

روی

\[ L^2(\mathbb{R}) \]

خودالحاق است. عملگر مشتق

\[ i\frac{d}{dx} \]

روی

\[ L^2(\mathbb{R}) \]

با دامنه ی مناسب خودالحاق است.