عملگر الحاقی (Adjoint Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر الحاقی (Adjoint Operator) :
در آنالیز تابعی، برای یک عملگر خطی کراندار
\[ T:H\to K \]بین فضاهای هیلبرت، عملگر الحاقی (adjoint operator)
\[ T^*:K\to H \]به گونه ای تعریف می شود که
\[ \langle Tx, y\rangle_K = \langle x, T^*y\rangle_H \]برای همه
\[ x\in H \]و
\[ y\in K \]. وجود و یکتایی
\[ T^* \]توسط قضیه ی نمایش ریز تضمین می شود.
در فضای با بعد متناهی و با ضرب داخلی استاندارد، الحاق یک ماتریس، ترانهاده ی مزدوج ( conjugate transpose) آن است. در فضاهای تابعی، عملگر الحاقی معمولا با انتگرال گیری جزء به جزء یا با استفاده از دوگان به دست می آید.
خواص مهم:
\[ (T^*)^* = T \]،
\[ \|T^*\| = \|T\| \]، و
\[ \|T^*T\| = \|T\|^2 \]. عملگرهای خودالحاق (
\[ T=T^* \]) و یکانی (
\[ T^*=T^{-1} \]) موارد خاص مهمی هستند.
در مکانیک کوانتومی، عملگر الحاقی متناظر با مزدوج هرمیتی یک مشاهده پذیر است. عملگرهای خودالحاق مقادیر ویژه ی حقیقی دارند.
عملگر الحاقی در نظریه ی عملگرها و معادلات دیفرانسیل برای تعریف عملگرهای خودالحاق و مطالعه ی مسئله های مقدار مرزی به کار می رود.
\[ \langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle \quad,\quad (A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}} \]✏️ مثال: روی
\[ \mathbb{C}^n \]،
\[ T^* \]ترانهاده ی مزدوج ماتریس
\[ T \]است. روی
\[ L^2(\mathbb{R}) \]، عملگر مشتق
\[ D=d/dx \]با دامنه ی مناسب، الحاق
\[ D^*=-D \]است (با شرایط مرزی).
