عملگر فشرده (Compact Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

عملگر فشرده (Compact Operator) :

عملگر فشرده (compact operator) یک عملگر خطی

\[ T:X\to Y \]

بین فضاهای نرم دار است که تصویر هر مجموعه ی کراندار در

\[ X \]

تحت

\[ T \]

، دارای بستار فشرده (precompact) در

\[ Y \]

باشد. این معادل آن است که

\[ T \]

، هر دنباله ی کرانداری را به دنباله ای با یک زیردنباله ی همگرا ببرد.

عملگرهای فشرده تعمیم عملگرهای با رتبه ی متناهی (finite-rank operators) هستند و در نظریه ی عملگرها و معادلات انتگرالی نقش اساسی دارند. عملگرهای انتگرالی با هسته ی پیوسته یا مربع پذیر روی فضاهای تابعی معمولا فشرده هستند.

خواص مهم: عملگرهای فشرده یک ایده آل دوطرفه در جبر عملگرهای کراندار تشکیل می دهند. طیف یک عملگر فشرده روی فضای باناخ، مجموعه ای شمارا (شامل صفر و مقادیر ویژه با فضای ویژه با بعد متناهی) است. قضیه ی طیفی برای عملگرهای فشرده خودالحاق روی فضای هیلبرت، آن ها را به صورت یک سری از تصویرهای روی زیرفضاهای ویژه نمایش می دهد.

در فیزیک، عملگرهای فشرده در مکانیک آماری و نظریه ی میدان ظاهر می شوند.

\[ T \text{ compact } \iff \overline{T(B_X)} \text{ compact in } Y \]

✏️ مثال: عملگر انتگرالی

\[ (Tf)(x)=\int_0^1 K(x,y)f(y)dy \]

روی

\[ L^2([0,1]) \]

با هسته ی

\[ K\in L^2([0,1]^2) \]

فشرده است (عملگر هیلبرت-اشمیت). عملگر درون یابی (embedding) از

\[ H^1([0,1]) \]

به

\[ L^2([0,1]) \]

فشرده است.