عملگر کراندار (Bounded Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر کراندار (Bounded Operator) :
در آنالیز تابعی، یک عملگر خطی
\[ T:X\to Y \]بین دو فضای نرم دار کراندار (bounded) نامیده می شود اگر یک ثابت
\[ C>0 \]وجود داشته باشد که
\[ \|Tx\|_Y \le C \|x\|_X \]برای همه
\[ x\in X \]. کوچک ترین چنین
\[ C \]را نرم عملگر
\[ \|T\| \]می نامند. عملگرهای خطی کراندار دقیقا همان عملگرهای پیوسته هستند.
مجموعه ی همه ی عملگرهای خطی کراندار از
\[ X \]به
\[ Y \]با
\[ B(X,Y) \]نشان داده می شود و خود یک فضای نرم دار (و اگر
\[ Y \]باناخ باشد، باناخ) است. اگر
\[ X=Y \]، آن گاه
\[ B(X) \]یک جبر باناخ با ضرب ترکیب عملگرهاست.
مثال ها: عملگرهای خطی روی فضاهای با بعد متناهی همیشه کراندار هستند. عملگر انتگرالی با هسته ی مربع پذیر روی
\[ L^2 \]، عملگری کراندار (و حتی فشرده) است. عملگر مشتق روی
\[ C^1([0,1]) \]با نرم
\[ C^1 \]کراندار است، اما روی
\[ C([0,1]) \]با نرم سوپ کراندار نیست (ناکراندار).
عملگرهای کراندار نقش اساسی در نظریه ی طیفی، معادلات انتگرالی، و فیزیک کوانتومی دارند. آن ها را می توان با سری های توانی (مانند نمایی عملگر) مورد مطالعه قرار داد.
\[ \|Tx\|_Y \le C \|x\|_X \quad,\quad \|T\| = \sup_{\|x\|\le 1} \|Tx\| \]✏️ مثال: عملگر ضرب
\[ (M_g f)(x)=g(x)f(x) \]روی
\[ L^2([0,1]) \]با
\[ g\in L^\infty \]کراندار است و
\[ \|M_g\| = \|g\|_\infty \]. عملگر مشتق روی
\[ C^1([0,1]) \]با نرم
\[ \|f\|=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty \]کراندار است.
