عملگر خطی (Linear Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
عملگر خطی (Linear Operator) :
در آنالیز تابعی و جبر خطی، یک عملگر خطی (linear operator) یک نگاشت خطی بین دو فضای برداری (معمولا با بعد نامتناهی) است. اگر
\[ X \]و
\[ Y \]فضاهای برداری روی یک میدان
\[ F \]باشند، یک نگاشت
\[ T:X\to Y \]خطی است اگر برای همه
\[ x_1,x_2\in X \]و
\[ \alpha\in F \]،
\[ T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2) \]و
\[ T(\alpha x_1)=\alpha T(x_1) \].
عملگرهای خطی در فضاهای با بعد نامتناهی (مانند فضاهای تابعی) موضوع اصلی آنالیز تابعی هستند. آن ها می توانند پیوسته (کراندار) یا ناپیوسته (ناکراندار) باشند. عملگرهای خطی روی فضاهای نرم دار، عملگرهای کراندار (bounded operators) نامیده می شوند و یک جبر باناخ (Banach algebra) تشکیل می دهند.
مثال های مهم: عملگر مشتق گیری
\[ D(f)=f' \]روی فضای توابع مشتق پذیر (ناکراندار)، عملگر ضرب
\[ (M_g f)(x)=g(x)f(x) \]روی
\[ L^2 \]، و عملگر انتگرالی
\[ (Kf)(x)=\int k(x,y)f(y)dy \].
در مکانیک کوانتومی، مشاهده پذیرها با عملگرهای خطی خودالحاق روی فضای هیلبرت نمایش داده می شوند. عملگر تکامل زمانی یک عملگر خطی یکانی (unitary) است.
عملگرهای خطی نقش اساسی در معادلات دیفرانسیل، نظریه ی طیفی، و فیزیک ریاضی دارند.
\[ T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y) \]✏️ مثال:
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ T(x,y)=(x+y,2x-y) \]یک عملگر خطی است. عملگر مشتق
\[ D(f)=f' \]روی
\[ C^1([0,1]) \]یک عملگر خطی است.
