نگاشت هم دیس (Bernoulli Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت هم دیس (Bernoulli Map) :
نگاشت هم دیس (Bernoulli map) معمولا به عنوان یک نام دیگر برای نگاشت مربع ساز (doubling map)
\[ f(x)=2x \mod 1 \]استفاده می شود. دلیل این نام گذاری ارتباط آن با فرآیند برنولی (Bernoulli process) و اندازه ی برنولی روی فضای دنباله های دودویی است.
همان طور که پیش تر توضیح داده شد، این نگاشت با جابجایی روی فضای دنباله های دودویی مزدوج است و اندازه ی لبگ روی
\[ [0,1 \]تحت این نگاشت به اندازه ی برنولی
\[ (\frac12,\frac12) \]روی دنباله ها تبدیل می شود. بنابراین، این نگاشت یک نمونه ی کلاسیک از یک سیستم برنولی (Bernoulli system) است.
سیستم های برنولی در نظریه ی ارگودیک به عنوان سیستم هایی با قوی ترین خواص تصادفی شناخته می شوند. آن ها دارای آنتروپی مثبت، اختلاط قوی، و خاصیت برنولی (isomorphic to a Bernoulli shift) هستند. نگاشت مربع ساز یکی از ساده ترین مثال های یک سیستم برنولی است.
در فیزیک، سیستم های برنولی برای مدل سازی فرآیندهای تصادفی در دینامیک مولکولی و نظریه ی آشوب استفاده می شوند. نگاشت مربع ساز (هم دیس) همچنین در تولید دنباله های شبه تصادفی و رمزنگاری کاربرد دارد.
تعمیم آن به
\[ f(x)=mx \mod 1 \]با
\[ m>1 \]نیز گاهی نگاشت برنولی نامیده می شود.
\[ B(x) = 2x \mod 1 \quad,\quad x \in [0,1) \]✏️ مثال: همانند نگاشت مربع ساز. این نگاشت با اندازه ی لبگ، یک سیستم برنولی است.
